1r ciclo Colisiones en el sistema de referencia del centro de masas

[NaCl]

Hola a todos, estudiando este tipo de colisiones he encontrado unas igualdades que no acabo de entender, a ver si alguien podria explicarme de donde salen:

vector velocidad 1 inicial = - ( vector velocidad 1 final )
vector velocidad 2 final = - ( vector velocidad 2 final )

es decir que los vector cambian de direccion pero no de modulo, esto para choques unidimensionales, ¿Alguien me lo puede aclarar? Gracias

Espero que lo entendais con palabras ya que no se usar el latex

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Re: Colisiones en el sistema de referencia del centro de masas

Hola NaCl,

Veamos, en la descripción de un choque desde el sistema de referencia del centro de masas, lo que has de tener en cuenta en primer lugar es cómo expresar la velocidad de las partículas que colisionan respecto del centro de masas. Esto, para cualquier partícula, se hace del siguiente modo:

$$\vec u_i=\vec v_i -\vec v_{CM}$$

Es decir, esa sería la velocidad de la partícula con respecto al centro de masas. Seguramente hayas visto esta expresión de otra forma, algo así:

$$\vec v_i=\vec u_i + \vec v_{CM}$$

Es decir, podemos expresar la velocidad de una partícula desde el sistema de referencia del ''laboratorio'' como la suma de la velocidad de la partícula con respecto al centro de masas más la velocidad del centro de masas. Por tanto, para hallar la velocidad de la partícula con respecto al CM, no tienes más que despejar de esa expresión, que es lo que he hecho en la primera ecuación que he puesto.

Entonces, planteemos cuál es el momento lineal inicial de las partículas, referido por supuesto al CM:

$$\vec p_0=m_1\vec u_{01}+m_2\vec u_{02}$$

Esto, lo puedes escribir de la siguiente manera:

$$\vec p_0=m_1\vec u_{01}+m_2\vec u_{02}=m_T\vec u_{CM}$$

Es decir, como la masa total por la velocidad del centro de masas con respecto al CM. Suena un poco raro, pero piénsalo: ¿cuál es la velocidad del CM respecto a un sistema centrado en el mismo CM? Pues...¡cero!. Si no lo ves claro, imagínate corriendo. La velocidad con la que corres respecto a ti mismo es cero. Lo mismo pasa para el CM. Así pues, concluimos que el momento lineal inicial es:

$$\vec p_0=m_1\vec u_{01}+m_2\vec u_{02}=m_T\underbrace{\vec u_{CM}}_{0}=\boxed{0}$$

De esto, deducimos por tanto que:

$$\vec p_{01}+\vec p_{02}=\vec p_{0}\Rightarrow \vec p_{01}=-\vec p_{02}$$

Consideremos ahora la energía cinética inicial. Para ello, te recuerdo que podemos relacionar la energía cinética y el momento de la siguiente forma, que es verdaderamente útil:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Pues $\vec p_{02}=-\vec p_{01}$. Como se trata de un choque perfectamente elástico, la energía cinética se conserva, de modo que la energía cinética inicial es igual a la final. Por tanto:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Pues también se cumple que $\vec p_{f1}=-\vec p_{f2}$. Con estas expresiones, llegamos a la conclusión de que:

$$p_{01}=\pm p_{f1}\Rightarrow \boxed{\vec p_{01}=-\vec p_{f1}}\Rightarrow \boxed{\vec p_{02}=-\vec p_{f2}}$$

Como en la expresión de la energía cinética el momento estaba al cuadrado, se obtienen dos soluciones, pero la de signo negativo es en este caso la que tiene verdadero significado físico (curiosamente muchas veces es al revés, la del signo negativo es la que no tiene significado físico).

Después de esta parafernalia, llegamos a la conclusión deseada que preguntabas en tu hilo, pues una vez que obtienes la relación entre los momentos finales e iniciales, se concluye que:

$$\boxed{\vec u_{01}=-\vec u_{f1}}\quad \text{y}\quad \boxed{\vec u_{02}=-\vec u_{f2}}$$

Que es justamente lo que tú preguntabas:

vector velocidad 1 inicial = - ( vector velocidad 1 final )
vector velocidad 2 final = - ( vector velocidad 2 final )

En fin, espero que lo hayas entendido, he procurado ir paso por paso, pero vamos, lo importante es tener claro desde un principio cómo expresar las velocidades respecto del CM y darse cuenta que la velocidad del CM respecto del CM es cero.

Por cierto, mírate este hilo para aprender a escribir con $\LaTeX$ es tus mensajes.

Saludos,

[NaCl]

Re: Colisiones en el sistema de referencia del centro de masas

Muchas gracias de verdad. Llevaba desde ayer intentando sacar de donde salia por mi mismo y ya me estaba volviendo loco. Debo decir que da gusto ver como la gente que ya domina estos temas comparta lo que sabe y enseñe a los que estamos empezando.

Por mi parte chapeau