1r ciclo Puenting

[hennin]

Una cuerda de puenting fijada en un puente se comporta como un muelle de constante 29N/m, con una longitud lo natural de 25m. Una persona de 55kg se lanza desde lo alto del puente. Hallar:
a) Ecuación que describe matemáticamente la energía potencial total en función de la altura
b) ¿Cuánto cae la persona?
c) Calculen la aceleración máxima
d) Calculen en tiempo que tarda en bajar
Nota: la cuerde sólo se comporta como un muelle cuando se estira, pero no se puede comprimir.

Me dan los siguientes resultados:
b) lo+x=79'3m
c) a(max)=-18'831 j
a) Si consideramos Ep en lo alto cero, siempre será cero.
Ep=-mgh+1/2mv^2+1/2Kx^2

siendo x la elongación de la cuerda. La velocidad es 2gh^0'5 entre el inicio y la distancia lo, pero a partir de ahí como expreso la velocidad?
d) No me da un resultado coherente.

[arivasm]

Re: Puenting

Confirmo b) y c).

a) Si consideramos Ep en lo alto cero, siempre será cero.
Ep=-mgh+1/2mv^2+1/2Kx^2

Fíjate que te piden la ecuación de la energía potencial, no energía mecánica. Lo que dices sería correcto para esta última. De hecho, en lo que escribes estás incluyendo la energía cinética. La ecuación de la energía potencial estará definida a trozos: para el tramo de caída hasta $l_0$ (sólo energía potencial gravitatoria) y para el tramo por debajo de ese punto (se añade el término elástico). Yo te aconsejo que tomes h=0 en el punto de cambio, es decir a una distancia $l_0$ del puente, y que llamaré C para entendernos.

La velocidad es 2gh^0'5 entre el inicio y la distancia lo, pero a partir de ahí como expreso la velocidad?

Usa la conservación de la energía mecánica.

d) No me da un resultado coherente.

El tiempo que te piden es la suma del tiempo de caída libre para el primer tramo y el que corresponde a la oscilación armónica del segundo, que es donde está la principal dificultad.

A mí se me ocurre la siguiente vía para este último: puesto que la situación es semejante al sistema masa-resorte con gravedad, determinar en primer lugar dónde está el punto de equilibrio (es decir, aquél en el que el peso y la fuerza elástica se igualan). Con él calculamos la amplitud (será la distancia al punto de retroceso que obtuviste en b) -yo obtengo 35,70 m-) y la elongación que corresponde al punto C. Después escribimos la ecuación de movimiento, por ejemplo tomando t=0 para el punto de equilibrio (aunque hay otra elección más cómoda, que comento enseguida) y tratamos de encontrar los valores de t que corresponden a ambos puntos.

La elección más cómoda a la que me refería antes es elegir t=0 cuando se alcanza el punto de retroceso, pues así sólo necesitamos encontrar el último t<0 que corresponde al punto C.

Yo encuentro (y espero no equivocarme, pues últimamente no ando nada fino) que el primer tramo tarda 2,26 s y el segundo tramo 3,39 s, de modo que la respuesta sería 5,65 s.

Edición: He revisado el cálculo y corrijo el tiempo del segundo tramo a 2,92 s, con lo que el total es 5,18 s.

[Cat_in_a_box]

Re: Puenting

¡Hola!

¡Vaya! Veo que estás haciendo los mismo ejercicios que yo. Te pongo mi intento, basándome un poco en los consejos que da arivasm, a ver qué te parece.

En primer lugar, como ya te han dicho, yo fijaría la $y=0$ en el punto de ''cambio'', es decir, en el punto en el que la cuerda está totalmente estirada, y que a partir de ahí comienza a comportarse como un resorte. De igual modo, fijo origen de energía potencial ahí mismo, de modo que la expresión matemática que describe la energía potencial en función de la altura está definida a trozos, siendo ésta:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Bueno, considerando todo lo que he dicho anteriormente esa sería la función de energía potencial. Ten en cuenta que en el segundo caso el signo negativo de la energía potencial gravitatoria va implícito (considero negativo hacia abajo, todo sea dicho de paso).

El caso, lo que nos interesa saber ahora es qué le ocurre a la chica una vez que la cuerda se ha estirado completamente y ésta se comporta como un muelle. Pues, yo lo que he hecho es plantear la ecuación del movimiento mediante la segunda ley de Newton. Tenemos así que:

$$\dst\sum_{i=0}^n \vec F_i=m\vec a\Rightarrow mg-ky=ma$$

Como estarás acostumbrado en este tema, expresamos la ecuación de la siguiente forma, de modo que se parezca a la de un MAS:

$$mg-ky=m\ddot y \Rightarrow \ddot y=g-\dst\frac{k}{m}y\Rightarrow \boxed{\ddot y=g-\omega^2y}$$

Fíjate que es casi igual a la ecuación de un MAS (vamos, que la aceleración es proporcional al desplazamiento). Lo que nos molesta en este caso es esa g que anda por medio. Por tanto, tenemos una ecuación diferencial de segundo orden que habrá que resolver.

No estoy nada familiarizado con este tipo de ecuaciones, tal vez tú en el doble grado ya habréis visto algo, pero buscando he visto que la solución de una ecuación de este tipo no es más que la solución de la ecuación diferencial homogénea, que es la que se correspondería con el MAS, más una solución particular.

En este caso es sencillo; una solución particular, que satisfaga dicha ecuación puede ser:

$$y=\dst\frac{g}{\omega^2}$$

Es fácil ver cómo cumple la condición. Si introduces esta solución en la ecuación (3) tienes que:

$$\ddot y=0$$

Pues nuestra solución particular es una constante.Y por otro lado:

$$g-\omega^2\cdot \dst\frac{g}{\omega^2}=0$$

Vemos que la solución particular es válida. Así que, como ya he dicho, la solución de la ecuación (3) es la de la homogénea, o sea, la del MAS típico, más la particular, por tanto:

$$\ddot y=g-\omega^2y\Rightarrow \boxed{y(t)=A\sin(\omega t +\delta)+\dst\frac{g}{\omega^2}}$$

Pero claro, no sabemos ciertos parámetro de esta ecuación, por lo que hemos de recurrir a las condiciones iniciales o ''ligaduras'' típicos de estos problemas. Si hacemos que en t=0 la y=0:

$$y_{t=0}=0\Rightarrow \sin\delta =-\dst\frac{g}{A\omega^2}$$

Y si la velocidad en el instante inicial, t=0, es justamente la velocidad con la que llega la chica al punto ese, es decir, la velocidad que has calculado en el tramo de caída libre, llamemosla $v_0$, entonces:

$$\dot y_{t=0}=v_0\Rightarrow \cos\delta=\dst\frac{v_0}{A\omega}$$

De modo que, teniendo en cuenta que:

$$v_0=\sqrt{2gl_0}=22.14\mathrm{m/s}$$

$$\omega=\sqrt{\dst\frac{k}{m}}=0.726\mathrm{rad/s}$$

Tenemos que la fase inicial es:

$$\tan\delta=-\dst\frac{g}{\omega v_0}\Rightarrow \delta\approx -0.54\mathrm{rad}$$

Entonces, ya acabando, cuando la chica llega abajo (-A), su velocidad en dicho punto es cero, y la aceleración máxima. Entonces, como tenemos nuestra ecuación del movimiento, y consecuentemente de la velocidad, podemos despejar el tiempo que tarda desde el t=0 inicial (medido desde el punto de ''cambio'', ojo) hasta abajo del todo. Entonces:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Por tanto, despejando el t' que deseamos:

$$\boxed{t'\approx 2.92\mathrm{s}}$$

Así que, podemos concluir (¡¡¡por fin!!!) que el tiempo que tarda en total, desde que se tira desde lo alto del puente es:

$$\boxed{\boxed{t_{total}=t_{c.libre}+t'=5.18\mathrm{s}}}<br />$$

Obtengo un resultado un poco distinto al de arivasm, así tal vez me haya equivocado en alguna cuenta por ahí, de todas formas, revisa un poco los cálculos.

Esa es un forma, la verdad es que un poco tediosa, así que si a alguien se le ocurre algo mejor, le estaré también yo bastante agradecido

¡Saludos y espero que te haya ayudado!

[arivasm]

Re: Puenting

Hola amigos

Aún no he repasado mis cálculos, por lo que todavía no confirmo ni corrijo lo que escribí antes. Sólo es para señalar algo que me llama la atención del post de cat-in-a-box: entiendo que g representa el módulo de la gravedad (es decir, es una cantidad positiva). Por tanto, en la expresión $y(t)=A\sin(\omega t +\delta)+\dst\frac{g}{\omega^2}$ el centro de la oscilación correspondería a un valor $\frac{g}{\omega^2}>0$, por encima del punto de cambio, pero yo opino que debería estar por debajo.

De hecho, en la aplicación de la ley de Newton, teniendo en cuenta que se ha tomado positivo hacia arriba, ¿no debería ser $-mg-ky=ma$?

Saludos

[arivasm]

Re: Puenting

Como ya he marcado en mi post de la respuesta #2, he revisado mis cálculos y confirmo el resultado de Cat-in-a-box, de 2,92 s en el segundo tramo y entonces 5,18 s en total.

Sobre lo que comenté en el post anterior a éste, y después de ver con calma cómo es posible que el resultado sea el mismo he llegado a la conclusión de que Cat-in-a-box ha invertido el signo de y en la segunda parte de su post (lo ha convertido en positivo hacia abajo), como evidencia el que haya escrito mg para el peso y haya tomado la velocidad en C como positiva.

Saludos!

[hennin]

Re: Puenting

Muchas gracias de verdad. Cat eres un máquina!