1r ciclo Empuje II: Cómo construír un densímetro

[minidu]

Hola, soy nuevo en el foro, lo encontré ayer y me encanta que exista algo así y que esté (tan -espero-) activo.

Quería hacer anotaciones al margen del hilo que empezó un tal dan2220 pero como no tiene mucho que ver inicio un nuevo hilo.

El caso es que su cuestión me hizo retomar una idea para fabricar un densímetro de sólidos, para hacer uno de líquidos es bien sencillo, pues si no me equivoco ahora de memoria hay una relación lineal entre la longitud que se hunde un cuerpo con la densidad
del fluído.

Supongamos esa figura pero con algunos cambios por simplificar, y hay que imaginárselos porque no tengo tiempo para hacer un dibujo tan chulo
La esfera es un cilindro de densidad más pequeña que el fluído, luego flota, todo de este cuerpo es conocido pues será parte del aparato.
El cilindro de abajo ahora será la muestra a medir.
El vaso en que se sumerge todo y el fluído forman parte del aparato, luego se conocen todos sus datos. La cuerda es un gancho donde se cuelga el sólido a medir.

Tenemos 2 situaciones. Llamaré $S$ a la sección o base del cilindro, $S^*$ a la base del vaso total, $h_0$ a la longitud sumergida del cilindro en el caso 1 y $\Delta h$ a la longitud sumergida de más del cilindro en el caso 2, la total sería $h_o + \Delta h$, $\rho_A$ la densidad del fluído y los subíndices $c$ pertenecen al cilindro y $x$ al sólido a medir.
1 - No hay muestra, y el sistema está en equilibro.

$m_cg-Sh_o\rho_A g = 0$

luego

$m_c-Sh_o\rho_A = 0$

2 - Con una muestra de magnitudes desconocidas y en equilibrio.

$m_c+m_x-V_{desplazada}\rho_A = 0$

$V_{desplazada} = S\left( h_0 + \Delta h \right) + V_x$ Volumen de agua desplazado/a no sé si es femenino o masculino xDD

$V_x = S^*\Delta H - S\Delta h$ Volumen de la muestra

Sustituyendo

$m_c+m_x - \left( Sh_0 + S\Delta h + S^*\Delta H - S\Delta h \right) \rho_A = 0$

El término del la primera con $m_c$ se hace 0, quedando

$m_x-S^*\Delta H\rho_A = 0$ Con esto ya se puede hacer una báscula hidrostática

Seguimos desarrollando

$V_x\rho_x - S^*\Delta H\rho_A = \left( S^*\Delta H - S\Delta h \right)\rho_x - S^*\Delta H\rho_A = 0$

Despejando la densidad incógnita

$\rho_x = \frac{S^*\Delta H}{S^*\Delta H - S\Delta h}\rho_A$

Ahora si ponemos una relación simple entre los cilindros externo e interno:

$S = \frac{1}{2}S^*$

$\rho_x = \frac{2\Delta H}{2\Delta H - \Delta h}\rho_A$

$\rho_A$ también podría simplificarse/particularizarse, pero bueno, cabe discutir que patrón sería mejor.

Podemos someter la fórmula a unos simples tests para probar que tiene sentido:

Si $\Delta h = 0$ es que lo que hemos sumergido no tiene peso aparente, luego su densidad es la del fluído, y en la fórmula se cumple.

Si $\Delta H = 0$ Es que no hay cuerpo, luego no tiene sentido

Si $\Delta H \to 0$ y $\Delta h \to \infty$ Es que es un cuerpo muy pesado de muy poco volumen, luego la densidad tiende a infinito también, bueno, al principio pensé esto y no pasaba la prueba(y precipitadamente taché todo jaja), pero claramente estaba equivocado pues algo muy pesado hará que el cilindro baje y aumente el volumen de agua desplazada. Luego voy a reformularla. Iré de la fórmula al efecto, para que un cuerpo tenga densidad que tienda a infinito lo que único que puede pasar es que $2\Delta H \to \Delta h$ Bueno, no le encuentro sentido físico o visualización directa en este caso. Es que el volumen del cuerpo es casi nulo pero HAY algo que hace bajar el cilindro, cuando tu hundes -a pulso por ejemplo- el cilindro $a$ se traduce en $\frac{1}{2}a$ en el vaso exterior. ¡Es curioso! ¡¡Un aparato que puede medir sólidos de densidades infinitas y masas finitas!! La masa vendría dada por lo que se hunde el cilindro, y la densidad por la diferencia, si es 0 es de densidad infinita, pero puede medir aún así su peso.

Bien, ahora, si todo está bien y nadie me corrige, salta mi duda: (y si alguien ha continuado leyendo hasta aquí, gracias, espero no haberles aburrido mucho)
¿Cómo podríamos lograr hacer la escala en el aparato? Necesitamos medir 2 cosas, luego habrá 2 escalas, pero no sé cómo habría que combinarlas de modo que den una medida directa, he visto calibres que usan 2 escalas como independientes, una para los milímetros y otra para las décimas o centésimas de milímetro. O sea, ¿se podría hacer de alguna manera? y ¿cómo?

¿Alguna consideración más?

Gracias, estoy encantado de haber encontrado este foro.

[angel relativamente]

Re: Empuje II: Cómo construír un densímetro

Hola minidu, ¡qué curioso parece tu experimento!
Lamentablemente me he perdido en un paso. Cuando dices:

$m_c+m_x - \left( Sh_0 + S\Delta h + S^*\Delta H - S\Delta h \right) \rho_A = 0$
El término del la primera con $m_c$ se hace 0, quedando
$m_x-S^*\Delta H\rho_A = 0$

¿Podrías aclararlo un poco más para que lentos como yo lo entiendan?

PD: Varias aclaraciones sobre lo que he leído

al margen del hilo que empezó un tal dan2220

UNA tal dan2220.

Volumen de agua desplazado/a no sé si es femenino o masculino xDD

Será masculino porque has desplazado un volumen y el volumen es masculino. ¡Tienes muchos problemas con los géneros!

Y mi única aclaración seria:

$V_x = S^*\Delta V - S\Delta h$

Corrígeme, pero creo que aquí lo correcto (utilizando la nomenclatura que tú has usado después) es:

$V_x = \Delta V - S\Delta h=S \cdot \Delta H - S\Delta h$


¡Saludos!
Ángel

[angel relativamente]

Re: Empuje II: Cómo construír un densímetro

Aborta, acabo de entender el paso que no entendía (como me cuesta a veces releer, ché)

[minidu]

Re: Empuje II: Cómo construír un densímetro

Te respondo a lo primero, normal que te pierdas(yo lo haría), es que quería ahorrar tinta y tecleos pensando que se vería claro, pero culpa mía.
$m_c+m_x - \left( Sh_0 + S\Delta h + S^*\Delta H - S\Delta h \right) \rho_A = 0$

Para empezar se van los $S\Delta h$:
$m_c+m_x - \left( Sh_0 + S^*\Delta H \right) \rho_A = 0$

Luego desarrollando:
$m_c+m_x - Sh_0\rho_A + S^*\Delta H\rho_A = 0$

Agrupamos:
$m_c - Sh_0\rho_A + m_x + S^*\Delta H\rho_A = 0$

Y resulta que $m_c - Sh_0\rho_A = 0$ por (1), por la condición de equilibrio en 1. Luego queda:

$m_x + S^*\Delta H\rho_A = 0$

Perdóneme la señorita dan2220

Para acabar de responder:

$V_x = S^*\Delta V - S\Delta h$ Es claramente un gazapo que se me fue, y es que en papel llamé V a H, y al pasarlo pensé que se confundiría una longitud con un volumen al llamarlo con la letra V, así que al transcribirlo se me fue una. Ahora edito.
Lo correcto sería:
$V_x = S^*\Delta H - S\Delta h$ Que es lo que tu dices pero cambiando la primera sección por la del vaso grande.

¡¡Gracias!!