1r ciclo Solución de ecuación del movimiento

[Cat_in_a_box]

¡Hola a todos!

Estaba haciendo unos ejercicios del tema de oscilaciones cuando me he topado con unos bastante curioso, cuyo último apartado se me resiste un poco. Veamos, os pongo un esquema que he hecho de la situación (no penséis que un bloque tiene más masa que el otro, o que al principio los dos están a la misma altura, y demás cosas por el estilo, sólo es un dibujo orientativo):



Vemos pues que tenemos un sistema de dos masas, M y m, y una de ellas está unida a un resorte, que dicho sea de paso, de longitud natural $l_0$ y constante $k$.Además, éstos están conectados por una cuerda inextensible de masa despreciable y que pasa por dos poleas también ideales.

Ante esta situación se nos plantean tres cuestiones: la posición de equilibrio del sistema, las ecuaciones dinámicas del movimiento de ambas masas si se desplaza el sistema de la posición de equilibrio, y donde tengo más dudas, la solución de dicha ecuación.

Veamos, para la posición de equilibrio, simplemente he tenido en cuenta la condición de equilibrio típica, que el sumatorio de fuerzas es cero (el de momentos lo he obviado, ya no no interviene en este caso). Así pues:

$$\dst\sum_{i=1}^n \vec F_i=0 \Rightarrow T_2=mg ; \quad T_1+kx_{eq}=Mg$$

Donde he llamado $x_{eq}$ a la elongación del muelle en la posición de equilibrio. Pues bien, al estar unidos por una cuerda inextensible, las tensiones son la misma, luego podemos despejar la posición de equilibrio, que resulta ser:

$$mg+kx_{eq}=Mg\Rightarrow \boxed{x_{eq}=\dst\frac{M-m}{k}g}$$

Entonces, se dice que el bloque de masa M se desplaza una distancia d hacia abajo respecto de la posición de equilibrio. Cuando se suelta, el sistema no estará en equilibrio de modo que aplicando la segunda ley de Newton para cada cuerpo, tenemos que:

$$mg-T=ma$$

$$T+k(x_{eq}-d)-Mg=Ma$$

Con esto, podemos decir que:

$$mg+k(x_{eq}-d)-Mg=(M+m)a$$

Es decir, la aceleración del sistema se puede escribir como:

$$a=\dst\frac{mg+k(x_{eq}-d)-Mg}{M+m}=\dst\frac{mg+kx_{eq}-kd-Mg}{M+m}$$

Resulta también que conocemos de la condición de equlibrio que $mg+kx_{eq}-Mg=0$ luego podemos escribir la expresión anterior como:

$$\boxed{a=-\dst\frac{k}{M+m}d}$$

Observamos que la aceleración es propocional al desplazamiento, de modo que el movimiento del sistema será un MAS. Así pues, la ecuación del movimiento, se obtiene de resolver la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:

$$\ddot y=-\dst\frac{k}{M+m}y\Rightarrow \boxed{\ddot y=-\omega^2y}$$

Está claro que la solución será de la forma:

$$y(t)=A\sin(\omega t+\delta)$$

Pero mi pregunta realmente viene ahora. ¿Qué condiciones iniciales o ligaduras he de tener en cuenta para obtener la solución de la ecuación? Ya que hay parámetro que no conozco, como $\delta$.

También me piden el período de oscilación, pero eso ya es sencillo pues conozco $\omega$.

¿Podrías ayudarme a resolver la ecuación diferencial? No es más que establecer ciertas condiciones para hallar el resto de parámetros, pero ando espeso

Desde ya, muchas gracias.

Saludos,

[arivasm]

Re: Solución de ecuación del movimiento

Hola Cat. En mi opinión planteas correctamente el problema y también resuelves correctamente la ecuación, con lo que tus preguntas serían las generales de cualquier MAS. Quizá, como ocurre en muchas ocasiones, la clave esté en el propio enunciado (es decir, en la intención de quien lo escribe). Así, si se entiende que el sistema se desplaza de la posición de equilibrio una distancia D y se le deja oscilar libremente (lo que equivale a decir que v=0 en ese instante), sería A=D y, por supuesto, $\delta$ dependerá de qué instante se elija para t=0. Si este último es aquél en el que se deja libre el sistema, sería $\delta=\pi/2$.

[guibix]

Re: Solución de ecuación del movimiento

...Ya que hay parámetro que no conozco, como $\delta$.

Buenas,

No sé si podré ayudarte y a lo mejor meto la pata.

Me parece que el movimiento armónico resultante tiene que empezar en el punto de máxima o mínima elongación $\pm A$, o sea que $\delta$ debería ser $\pm\dfrac{\pi}{2}$ en tu caso.

$$y(t)=\pm A\sin(\omega t\pm\frac{\pi}{2})$$

Espero que te ayude algo.

Saludos.

PD: Ups! arivasm se me ha adelantado jeje

[Artos]

Re: Solución de ecuación del movimiento

yo creo que lo mas practico para hallar A y la face,es plantear las condicones iniciales:

y(0)=-d (veo que tomaste como 0 de referencia la posicin de equilibrio)
y'(0)=0 (velocidad inicial 0, el enunciado dice que lo suelta, asique, como siempre que sesuelta algo, velocidad inicial es 0)

reemplazar en tu ecuacion (y su derivada respecto a t), y obtienes un sistema con 2 ecuaciones y dos incognitas.

resolver y listo obtienes tus parametros. en realidad veoque la parte mas complicada de resolver la ecuacion diferencial lo has hecho tu solo.

[Al2000]

Re: Solución de ecuación del movimiento

...
Pero mi pregunta realmente viene ahora. ¿Qué condiciones iniciales o ligaduras he de tener en cuenta para obtener la solución de la ecuación? Ya que hay parámetro que no conozco, como $\delta$.
...

Amigo felino, tienes varias inconsistencias que provienen básicamente de no haber establecido con claridad un origen y haber usado la posición inicial como la posición genérica al hacer el análisis.

Sólo te quiero puntualizar un par de cosas para tu reflexión. Como nunca indicaste la referencia desde donde mides la posición, hay que deducir de la ecuación (1) que estás midiendo $x_{eq}$ a partir de la parte superior del resorte no comprimido y positivo hacia abajo, de modo que el piso estaría en la posición $x = l_0$. Ya esto de entrada hace las cosas confusas y deberías haberlo especificado, pues se aparta de lo convencional.

Esta convención que has usado se refleja en la ecuación (2), según la cual si $M > m$ entonces $x_{eq} > 0$. Ningún problema hasta ahora, pues tu eres libre de elegir el sentido positivo a placer (aunque debiste haberlo especificado).

Pero mas adelante dices que el bloque M se desplaza una distancia $d$ hacia abajo pero la tomas como negativa en la ecuación (4). Nota que si el resorte ya está comprimido en la posición $x_{eq}$ y adicionalmente lo comprimes una longitud $d$, la fuerza hacia arriba será $k (x_{eq} + d)$.

Bueno, dejo esto por el momento. Quiero hacerte otro comentario. Cuando dices que te falta el ángulo de fase, date cuenta de que el problema es que estás usando la posición inicial $d$ como la variable del movimiento y eso es lo que te enreda la petaca. Para hacer el análisis debes introducir una variable, llámala como quieras, por ejemplo $x$, la cual tomará como valor inicial $x_{eq} + d$. Si para mantener la coherencia mides $x$ desde la misma referencia y en el mismo sentido, entonces cuando la masa M se encuentre en la posición $x$, la fuerza que ejerce el resorte es $k x$ hacia arriba.

En la misma ecuación (4) tienes un problema con la aceleración, de nuevo producto del convenio no-coherente que estás usando. Si el resorte se comprime ($x>0$), la tensión y la fuerza del resorte apuntan hacia arriba, en sentido contrario al peso. Eso está bien en la ecuación, pues la tensión y la fuerza del resorte se suman y le restas el peso. ¿Pero que pasa con la aceleración? Si la fuerza combinada tensión + resorte supera al peso, la masa acelera hacia arriba. Según tu convención de signos, la aceleración debería aparecer negativa (de modo que se mantenga aquello de que $F = - k x$).

Bueno, lo dejo hasta aquí. Ojalá te tomes estas observaciones sin enfado, ya que las hago con espíritu constructivo.

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: Solución de ecuación del movimiento

En lo que sigue el sistema de referencia va a ser el convencional con el eje $y$ dirigido hacia arriba y el origen en el punto superior del resorte en su posición no deformada.

- Tomando atajos: La cuerda simplemente aplica el peso del cuerpo $m$ al cuerpo $M$ verticalmente hacia arriba y aumenta la inercia del sistema. Cuando el resorte se desplaza hacia arriba una distancia $y$, la suma de fuerzas en $M$ es

$$m g - k y - M g = (m + M) a$$

- Tomando un atajo menor: Plantear la suma de fuerzas en cada cuerpo aceptando que, por ser la cuerda inextensible, la aceleración de $m$ es igual a la de $M$ en valor absoluto pero de sentido contrario y la tensión tiene el mismo valor absoluto en ambos cuerpos

$$T - m g = - m a\,, \quad T - k y - M g = M a$$

donde al eliminar $T$ se obtiene (1).

- Sin tomar atajos: Igual que arriba pero poniendo la condición de ligadura

$$T - m g = m a_m\,, \quad T - k y - M g = M a_M\,, \quad a = a_M = -a_m$$

Volviendo a la ecuación (1), se tiene reacomodando los términos que

$$\frac {d^2 y}{dt^2} + \frac k {m + M} y = \frac {m - M}{m + M} g$$

donde haciendo el cambio de variable

$$y = u + \underbrace {\frac {m - M} k g}_{\textstyle y_\text {eq}} = u + y_\text {eq}$$

queda que

$$\frac {d^2 u}{dt^2} + \frac k {m + M} u = 0$$

cuya solución es la conocida ecuación de un MAS. Resta aplicar las condiciones iniciales para determinar las dos constantes de la ecuación. Por ejemplo, si el cuerpo $M$ se desplaza hacia abajo de la posición de equilibrio una distancia $d$, entonces podríamos rematar el problema poniendo

$$u = A \cos \omega t \quad \Rightarrow \quad y = y_\text {eq} + A \cos \omega t\,, \quad \omega = \sqrt {\frac k {m + M}}$$

y decir que $y_{(0)} = y_\text {eq} - d$ para concluir que $A = -d$, quedando la ecuación de movimiento

$$\boxed {y_{(t)} = y_\text {eq} - d \cos \omega t\,, \quad \omega = \sqrt {\frac k {m + M}}}$$

Saludos,

Al