1r ciclo MAS (polea con masa y radio)

[draykaler]

Buenos días tengo un ejercicio que no se muy bien como resolver. Tengo el sistema que aparece en la imagen y he de averiguar la frecuencia de oscilación cuando la masa se separa una distancia d. El problema que tengo es que la polea tiene un radio R=5cm y una masa M=1kg. Y el bloque tiene una masa m=1kg y está a una altura h=40cm. El muelle tiene k=200N/m y el hilo tiene una longitud l=80cm. Doy todos los datos aunque lo que me interesa es llegar a una ecuación en función de M,m y k. Al ver que la polea tiene radio y masa pensé en hacerlo por la conservación del Momento de las Fuerzas pero no llegó un momento en el que no sabía seguir.Gracias por su ayuda

[xXminombreXx]

Re: MAS (polea con masa y radio)

Pues mira, así lo haría yo: por conservación de energía:

Al separar la masa una distancia d, toda la energía está concentrada en la potencial del muelle. Podemos aislar el sistema polea-bloque, porque lo que nos interesa es la frecuencia del muelle. Esa distancia nos permite saber que cuando pase por el punto de equilibrio, esa energía potencial será 0 y se habrá repartido entre cinética del bloque y cinética rotacional de la polea. Podemos ignorar la potencial del bloque porque es la misma al pasar por el equilibrio que cuando empezamos, o podemos direcamente poner el origen de potencial gravitatoria en el punto de equilibrio. Bien, tenemos la distancia d, así que esa energía es $\frac{1}{2}kd^2$, que puesto que se ha repartido entre cinética rotacional y cinética del muelle, tenemos que:

$$\frac{1}{2}kd^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$$

Pero sabemos que la velocidad lineal del bloque es igual a la velocidad lineal de la polea en su circunferencia más externa, si el cable no desliza, así que podemos decir que $\omega = \frac{v}{r}$

Puedes sacar la velocidad en el punto de equilibrio, y luego tratarlo como un movimiento armónico en el que la amplitud es d y la velocidad en el punto de equilibrio es la v hallada.

Espero que esté bien, la verdad es que no me convence porque el tema polea me genera algo de dudas, pero a lo mejor en lo que he hecho te he dado alguna pista que te ayude, no se...

[Al2000]

Re: MAS (polea con masa y radio)

...Doy todos los datos aunque lo que me interesa es llegar a una ecuación en función de M,m y k...

Tomando com positivo el sentido hacia arriba de las fuerzas y aceleraciones, y en sentido antihorario para el torque y la aceleración angular, tienes las siguientes ecuaciones (hazte tus diagramas de cuerpo libre):

- Masa: $\dst T_1 - M g = M a$

- Polea: $\dst (T_1 - T_2) R = I \alpha$

- Resorte: $\dst T_2 = -k y$

- La cuerda no resbala: $\dst a = - \alpha R$

Revisa, que lo escribí sobre la marcha y no lo he resuelto. La distancia $y$ se mediría a partir de la posición en la cual el resorte no esté deformado.

Saludos,

Al