Secundaria Caída de una ficha de dominó

[Pepealej]

Hola. Estaba el otro día pensando acerca del movimiento de caída de una ficha de dominó y pensé que, como la fuerza aplicada a la ficha no es constante, ¿cómo calculo la aceleración en un punto, y la velocidad a la que cae? Me refiero a una situación como esta:

Donde la ficha, inicialmente vertical y quieta, al recibir un empujoncito rota sobre sí misma (con el eje de rotación en el punto de contacto con sel suelo) hasta caer al suelo.

La fuerza que influye en el torque es variable, claro está, y aumenta conforme la ficha cae.

Mis dudas, principalmente son:

1. Para este tipo de movimiento, la fuerza que he dibujado en la figura corresponde a la masa entera de la ficha del dominó? ¿Cómo se cuál es esa fuerza?

¿Cómo analizo el movimiento?

Gracias por su ayuda

[xXminombreXx]

Re: Caída de una ficha de dominó

Pues lo que cambia es el momento de fuerza que genera la gravedad sobre el dominó, lo que le da una aceleración angular sobre el eje de giro, en este caso la parte baja de la ficha.

Esa fuerza actúa sobre toda las partículas de la ficha, así que no es sólo la que has dibujado. Sobre cada partícula actúa un momento diferente, así que no son todas iguales.

En vez de con una ficha tridimensional lo voy a hacer con una barra unidimensional, para manejar una densidad linea, pero el problema no pierde mucha generalidad, sólo habría que cambiar expresiones de densidad.

Sumamos el sistema continuo de momentos:

$$\int_{0}^{R}rdF\sin \alpha = \int_{0}^{R}rg\cdot dm \sin \alpha = g\sin \alpha\int_{0}^{R}rdm$$

El ángulo es constante en toda la barra en un momento dado, por eso lo sacamos. Ahora consideramos una densidad lineal: $\lambda = \frac{m}{R} = \frac{dm}{dR}$ Se supone densidad constante.

Sustituimos:

$$g\sin \alpha\int_0^Rr\lambda dr = \left [g\sin\alpha\lambda\frac{r^2}{2} \right ]_0^R = g\sin\alpha\frac{m}{R}\frac{R^2}{2} = \frac{1}{2}gmR\sin\alpha$$

Ese es el momento total para un ángulo dado. Sabiendo que $\tau = I\alpha$ Podemos hallar el momento de inercia de la barra alrededor del eje de giro (por Steiner) y sacar la aceleración angular en ese momento.

Espero no haberme equivocado en nada, pero he hecho las operaciones directamente en Latex y sería bastante normal.

Analizando el resultado, podemos ver que es como una sola partícula de la misma masa y radio R/2. Evidentemente. Podemos hacerlo más fácil Si hallamos el centro de masas, exactamente en el centro, y tratarlo como una partícula, por lo que tenemos el momento de la gravedad sobre esa partícula, de forma directa, llegamos a lo mismo, lo que me da seguridad sobre mi resultado: $|\vec{r} \times\vec{F}| = rF\sin\alpha = rmg\sin\alpha$ Sabemos que el el centro de masas está en el medio, así que r = R/2 -> $\tau = \frac{R}{2}mg\sin\alpha$

Es más fácil así, para evitarte un problema con el sistema continuo tridimensional.

[Pepealej]

Re: Caída de una ficha de dominó

Muchas gracias por la respuesta xXminombreXx, tengo algunas pequelas dudas para continuar:

1. ¿Tenemos que aplicar Steiner para hallar el momento de inercia por el eje de giro? Si consideramos la integral desde 0 hasta R estamos colocando el sistema de referencia en uno de los extremos de la barra (da igual cual) y por tanto ya tendremos el momento de inercia desde ese extremo/eje, ¿no es así?

2. Según Wikipedia, el momento de inercia de un paralelepípedo depende de su altura h, anchura w y profundidad d. Y me dice que: $I_h=\frac{1}{12}m(w^2+d^2)$, $I_w=\frac{1}{12}m(h^2+d^2)$ y $I_d=\frac{1}{12}m(w^2+h^2)$. ¿Qué hago con esos datos?

3. La aceleración angular varía, ¿cómo puedo saber la velocidad angular en un momento concreto dado el problema de la velocidad angular cambiante?

4. Vamos a considerar que tenemos 2 fichas, una detrás de la otra. Si la primera ficha cae y golpea a la segunda con una velocidad lineal v (la de la punta de la ficha), ¿podemos considerar la colisión de las puntas como una colisión elástica y así calcular las velocidades a las que salen despedidas cada una?

Muchísimas gracias

[Pepealej]

Re: Caída de una ficha de dominó

Hola de nuevo xXminombreXx,

En primer lugar olvida las preguntas 2 y 3 del mensaje anterior, ya las tengo resueltas. En segundo lugar quería plantear una duda, que no me deja continuar (además de las preguntas 1 y 4 del mensaje anterior).

Para obtener la función velocidad tengo que integrar la función aceleración respecto al tiempo. El problema es que como variable tengo el ángulo de inclinación de la ficha (espacio angular recorrido) y no el tiempo. ¿Qué cambio de variable debo utilizar?

Muchas gracias