1r ciclo Vector posición

[Julián]

¿Por qué la posición de una partícula en el espacio se representa como una magnitud esclar respecto de un sistema coordenado de referencia y no como un simple punto?

saludos.

[angel relativamente]

Re: Vector posición

No entiendo muy bien eso que dices de que la posición de una partícula en el espacio se representa como una magnitud esclar respecto de un sistema coordenado de referencia. La posición de una partícula en el espacio se da mediante un vector (el vector posición, como bien titulas el hilo), que tiene tres componentes (en el espacio), y no solemos dar un "escalar" para decir dónde se encuentra salvo que se sobreentienda la dirección. ¿Por qué no damos un punto? Pues porque normalmente las posiciones varían con el tiempo. Es por ello por lo que damos un vector posición que depende del tiempo. Por ejemplo, si el vector posición de una partícula es:

$\vec r= 3t^2 \vec i - 2 \vec j + t\vec k$

Cuando t=1 la posición será:

$\vec r= 3 \vec i - 2 \vec j + \vec k$

Eso quiere decir que se encontrará en el punto $P(3,-2,1)$

Si te empeñas, puedes dar un punto que depende del parámetro tiempo:

$P_t(3t^2,-2,t)$

Que sería un punto genérico de la trayectoria de la partícula. Así basta sustituir el tiempo para saber dónde se encuentra. Pero, ¿qué utilidad le ves a eso? No podemos hacer operaciones con él.

¿He resuelto tu duda o he malinterpretado tu pregunta?
Saludos
Ángel

[Julián]

Re: Vector posición

Entonces ¿en el sistema de referencia cartesiana un punto es un vector? Porque además de tener una distancia con respecto del origen tiene una dirección. ¿Es correcto esto?

Creo que lo que me lleva a la confusión es la representación gráfica del vector posición como una flecha, ¿no sería mejor representarlo como un segmento que va del origen al punto?

[angel relativamente]

Re: Vector posición

Entonces ¿en el sistema de referencia cartesiana un punto es un vector? Porque además de tener una distancia con respecto del origen tiene una dirección. ¿Es correcto esto?

No, para nada. Un punto y un vector son cosas bien distintas. No es correcto que un punto tenga una dirección. Un vector queda definido entre dos puntos, uno de origen desde donde sale la flecha, y otro de extremo, donde acaba la misma. Vamos a poner un ejemplo (y voy a generalizar lo mínimo para no liarte).

Imaginemos los puntos en el espacio $P(1,2,3)$ y $Q(-2,0,1)$

Si queremos hallar el vector que va de P a Q haríamos:

$\vec{PQ}=Q-P=(-2,0,1)-(1,2,3)=(-3,-2,-2)$

Esas serían las componentes (que no las coordenadas) del vector definido entre P y Q, con origen en P. Como ves los valores de las componentes no coinciden ni con las coordenadas de P ni con las de Q. Ahora imaginémonos otro punto $P'(2,-1,5)$. Queremos hallar el vector que va desde el origen a ese punto (recordemos que el origen es el punto $O(0,0,0)$). El vector que va desde O hasta P' será:

$\vec{OP'}=P'-O=(2,-1,5)-(0,0,0)=(2,-1,5)$

Y como aprecias, las componentes del vector $\vec{OP'}$ coinciden con las coordenadas del punto P', ¡pero eso no quiere decir que sean la misma cosa!. Del mismo modo que no se te ocurre decir que un plano es una recta.

Creo que lo que me lleva a la confusión es la representación gráfica del vector posición como una flecha, ¿no sería mejor representarlo como un segmento que va del origen al punto?

De hecho, un vector es "como un segmento". Con esto quiero decir que tiene módulo, al igual que el segmento. Si quieres hallar la distancia que hay de O a P' tan solo has de hacer:

$d(O,P')=\sqrt{(2)^2+(-1)^2+(5)^2}\approx 5.477 \; u$

Pero si solo diéramos el módulo nos quedaríamos cortos en información. Si tu dices: Un punto P' está a 5.477 u del origen, no me dices nada ya que hay infinitos puntos que cumplen esa condición.

Si a la hora de representar haces un segmento entre O y P', estás representando la dirección y el módulo, pero si no haces la punta de lanza que tiene el vector no quedará definido el sentido. ¿Cómo sabremos si estás midiendo la posición de P' a partir de O ó la posición de O a partir de P'?

Un saludo

[Julián]

Re: Vector posición

Decimos que una partícula se encuentra localizada en un punto, pero si queremos darle o decir su posición esta se hace con respecto a otro punto que se toma por referencia, de allí el nombre vector posición, ya que además de la distancia de este punto que tomamos como referencia es necesario mencionar o decir su dirección.¿Estoy en lo correcto? ¿siempre que se habla de una posición es entre dos puntos, uno tomando como referencia y el otro el del objeto?

[angel relativamente]

Re: Vector posición

Decimos que una partícula se encuentra localizada en un punto, pero si queremos darle o decir su posición esta se hace con respecto a otro punto que se toma por referencia,de allí el nombre vector posición

Correcto.

ya que además de la distancia de este punto que tomamos como referencia es necesario mencionar o decir su dirección.¿Estoy en lo correcto?

A medias. Además de mencionar su distancia y su dirección, has de mencionar su sentido. Un módulo nos da una magnitud, siempre en valor absoluto (positivo), es decir, una distancia. Un segmento en el espacio nos da dos cosas: Módulo (la longitud del segmento) y dirección (la dirección del mismo). Pero como los segmentos son entre dos puntos, nos falta un dato, que es el sentido. No tenemos criterio para discernir si estamos posicionando el punto B con respecto a A o viceversa. Estas tres magnitudes son las que nos da el vector.

¿siempre que se habla de una posición es entre dos puntos, uno tomando como referencia y el otro el del objeto?

Como dije antes, sí. Carece de total sentido dar la posición de una partícula sin establecer un sistema de referencia desde donde medirla.
Vuelvo a ejemplificar (esta vez algo más generalizado):

Supongamos que una partícula tiene la posición $P(p_1,p_2,p_3)$, tomando como sistema de referencia el punto $A(a_1,a_2,a_3)$. El vector posición de esa partícula será: $\vec r= (p_1-a_1)\; \vec i + (p_2-a_2)\; \vec j+(p_3-a_3)\; \vec k$

Pero como los físicos somos son muy simplistas, suelen utilizar el origen, es decir, el punto $(0,0,0)$ como sistema de referencia. Por tanto, si $A=O$, el vector posición de una partícula que se encuentra en el punto $P(p_1,p_2,p_3)$ medido desde el origen será: $\vec r= p_1\; \vec i + p_2\; \vec j+p_3\; \vec k$

¿Ahora me he explicado mejor?
¡Saludos!

[Julián]

Re: Vector posición

¿Pero como me doy cuenta cuando se refiere a un punto o a un vector? ya que por ejemplo en el espacio ambos se simbolizan como una dupla ordenada de números o en el espacio como una terna ordenada de números

[angel relativamente]

Re: Vector posición

Es cierto que se representan igual, pero normalmente suelen ir acompañados de una letra delante para indicar de qué se trata esa dupla-terna ordenada. Así, una letra mayúscula del abecedario representa un punto, y una minúscula del abecedario con una flecha arriba, un vector. O si no, en el propio enunciado te dicen de qué se trata. Pero desde luego si te ponen $(1,3,5)$ puede ser un punto, un vector, o infinidad de cosas más. Por eso en física muchas veces no damos los vectores como una terna, sino que los damos de modo: $\vec r= a \; \vec i +b \; \vec j +c\; \vec k$, que es el vector $\vec r(a,b,c)$, pero expresando sus componentes mediante los vectores unitarios de la base ortonormal.

¡Un saludo!