1r ciclo Bloque cae hacia un muelle.

[Mitor]

Tengo el siguiente ejercicio:

5. Un bloque de 2 kg se suelta sobre un plano inclinado (30º) a una distancia de 4 m de un muelle de constante elástica k = 100 N/m. a) Suponiendo que el rozamiento es nulo, halle la compresión máxima del muelle, admitiendo que carece de masa. b) Si el coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y el plano es 0.2, halle la compresión máxima del muelle y hasta qué altura subirá el bloque después de abandonar el muelle.

El caso es que no sé muy bien cómo hacerlo:

Entiendo que, en a) al no haber rozamiento toda la energía se conserva, luego tenemos que:

$mgh= kx^2/2$, con $h=4sin30$

Y de ahí obtenemos x. Pero con rozamiento no sé exactamente cómo hacerlos.

[neometalero]

Re: Bloque cae hacia un muelle.

Debes hallar la energía perdida en el rozamiento, creo que puedes llamarlo trabajo de rozamiento si no mal recuerdo. Será igual a la fuerza de rozamiento por la distancia recorrida. Esta fuerza de rozamiento a su vez es igual al coeficiente de rozamiento por la normal. Y la normal, si no me equivoco será el producto del peso por el coseno del ángulo. Pero vamos, deberías hacerlo tu para saber cómo.
De nada!!

[Mitor]

Re: Bloque cae hacia un muelle.

Vale, ¿Pero cómo relaciono la fuerza de rozamiento con la energía perdida?

¿La primera parte está bien?

[Al2000]

Re: Bloque cae hacia un muelle.

...
¿La primera parte está bien?

No es correcto cuando pones que "$h=4sin30$", estás olvidando la compresión del resorte. Probablemente el efecto será pequeño, pues la compresión $x$ del resorte seguramente será pequeña comparada con los 4 metros, pero estrictamente tendrías que decir que "$h=(4+x)sin30$".

Saludos,

Al

[angel relativamente]

Re: Bloque cae hacia un muelle.

Hola Mitor. Te seré sincero, nunca he hecho un problema de este estilo, pero me atreveré a hacerte alguna puntualización. Probablemente diga alguna tontería, si la detectas no dudes en corregirme.
Sobre la primera parte:
No estoy de acuerdo en la ecuación que sacas. La distancia de 4m es la que va del bloque al muelle SIN comprimir. Por tanto si tu estableces el origen de la energía potencial justo a la altura donde acaba el muelle sin comprimir, cuando la energía potencial sea 0, toda la energía se habrá convertido en cinética, no en potencial elástica. Creo que has de tomar como origen el muelle comprimido. Así, la altura a la que se encuentra inicialmente el bloque respecto al muelle comprimido es $h_0=(d+x) \cdot \sin \alpha$, y de ahí planteas que:

$$mg\sin \alpha \cdot (d+x)=\dfrac 12 kx^2$$

Y de ahí despejas x (no queda una ecuación de segundo grado tan bonita como la anterior, por desgracia).

¿Pero cómo relaciono la fuerza de rozamiento con la energía perdida?

Como ya te ha dicho neometalero. La energía perdida es el trabajo de rozamiento, que es la fuerza de rozamiento por el desplazamiento (nos olvidamos del coseno del ángulo puesto que el vector fuerza y el vector posición son paralelos).
Si en el anterior ejercicio tenía dudas, en este aún más, pero te comento lo que yo haría:
El desplazamiento del bloque hasta que está en su punto más bajo (con el muelle comprimido) es:

$\Delta x=d+x$

Por tanto, el trabajo que hace la fuerza de rozamiento es:

$W_{roz}=F_{roz} \cdot \Delta x = \mu N \cdot (d+x)= mg\mu \cos \alpha \cdot (d+x)$

Puesto que esa es la energía que se disipa (ya que la fuerza de rozamiento no es conservativa) podemos plantear que la energía potencial inicial menos el trabajo de rozamiento es la energía potencial elástica final:

$$E_{p0}-W_{roz}=E_{pe}$$

Es decir:

$$mg\sin \alpha \cdot (d+x)-mg\mu \cos \alpha \cdot (d+x)=\dfrac 12 kx^2$$

Y de ahí despejas x (espero que no te haya costado mucho despejar la x en la anterior porque esta se pone más interesante ).

...y hasta qué altura subirá el bloque después de abandonar el muelle.

Aquí tengo una duda de interpretación. ¿Altura después de abandonar el muelle? ¿Se refiere a altura respecto al muelle comprimido o respecto al muelle sin comprimir? Yo apostaría más por lo último, pero al fin y al cabo es hacer una operación más al final.

Veamos, ahora el bloque va a subir hasta una altura $h$.
En ese trayecto, tendrá un desplazamiento de $\Delta x=\dfrac{h}{\sin \alpha}$

El trabajo de la fuerza de rozamiento será por tanto:

$W_{roz}=F_{roz}\cdot \Delta x =mg\mu \cos \alpha \cdot \left(\dfrac{h}{\sin \alpha} \right) =mgh\mu \cot \alpha$

Planteamos ahora el balance energético: La energía potencial elástica inicial menos la energía que se disipa por la fuerza de rozamiento será igual a la energía potencial final:

$$E_{pe0}-W_{roz}=E_p$$

Es decir:

$$\dfrac 12 kx^2 - mgh\mu \cot \alpha =mgh$$

Y de ahí despejas h (ahora es más fácil el despeje, así que lo haré yo jeje):

$$h=\dfrac{kx^2}{2mg(1+\mu \cot \alpha)}$$

Si lo que te piden es la altura "una vez haya abandonado el muelle", entiendo que te piden la altura medida desde el muelle sin comprimir. Como la altura que hay desde el muelle comprimido hasta el muelle sin comprimir es $h_c=x \sin \alpha$, la altura por tanto que alcanza el bloque desde que abandona el muelle es:

$$\boxed{h'=\dfrac{kx^2}{2mg(1+\mu \cot \alpha)}-x\sin \alpha}$$

Y yo creo que con esto y un bizcocho estaría resuelto el problema. Ahora es vuestro turno para criticarme y tirarme los libros a la cabeza por haber cometido errores. Y en caso de que esté bien hecho y haya dudas, también para preguntarme

Un saludo.
Ángel

PD: Mientras ponía todo este rollo, Al se me adelantó con un mensaje que, por suerte, confirma lo primero que he dicho.

[Al2000]

Re: Bloque cae hacia un muelle.

Una forma alternativa para calcular la distancia que recorre el bloque en el rebote, es aceptar que la fuerza del resorte es conservativa y sacarlo de toda consideración, pues la energía almacenada en la compresión será devuelta al retornar a su longitud normal. La cuenta queda entonces energía_potencial_final = energía_potencial_inicial - trabajo_rozamiento: $\dst m g h' = m g h - \mu m g \cos \alpha (d + 2 x + d')$. Quedaría expresar $d, d'$ en función de $h, h'$ y despejar $h'$, aunque a mi en lo personal me agrada mas el cálculo de $d'$ para comparar con $d$.

Saludos,

Al

[neometalero]

Re: Bloque cae hacia un muelle.

Que manera de complicarlo todo, con lo fácil que era lo que yo he puesto...xD

[Mitor]

Re: Bloque cae hacia un muelle.

Vale, muchas gracias a todos.

Un saludo.