Secundaria problema de dos asteroides que se acercan

[hector_robles]

Hola.
Tengo una duda, demasiado básica, de un problema de física. No sé si me podrán ayudar a resolverla.
Después de bucear en el foro un buen rato creo que la tengo casi resuelta.
Este año me ha tocado ser profesor durante unos meses de física y debido a mi formación (como biólogo) ya me han puesto en un compromiso.

He explicado a mis alumnos el tema de la gravitación. Entiendo que la gravedad es una aceleración variable con la altura. Pues voy con el problema:

Dos asteroides de masas m1 y m2 están separados una distancia d. Calcula el tiempo en acercarse x metros.

Una vez calculada la fuerza gravitatoria, al dividirla por la masa obtengo la aceleración de cada uno. A partir de estas aceleraciones saco el tiempo por cinemática.

Mis dudas son si esta aceleración es la gravedad, entiendo que sí.

Pero sobre todo, si a medida que los asteroides se acercan, la distancia se hace menor y por lo tanto la aceleración cambia, aumenta. ¿Cómo puedo tener en cuenta esta variación? ¿varía mucho el resultado si la considero constante?

Yo les digo que si dejamos caer una bola de 1 t y una canica, llegan a la vez. Pero me dicen que si una masa es 1000000 de veces mayor cambiará su propio campo gravitatorio y por lo tanto la Tierra se le acercará más deprisa. Ya sé que es imperceptible pero como les insisto tanto en la exactitud de la Ciencia, me da un poco de coraje afirmar con tanta rotundidad que ambas llegan a la vez cuando todos ellos entienden que realmente, aunque por poco, no es así.

Un saludo.
Héctor

[hennin]

Re: problema de dos asteroides que se acercan

En efecto, cometerás un error diciendo que "calculas el tiempo conociendo la aceleración por cinemática".
Esa aceleración inicial, (g), tiene un valor al inicio. Pero a lo largo del tiempo va ir aumentando, entonces no puedes usar v=v(inicial)+at pues ahí asumes que a es constante.

Entonces has de usar la siguiente expresión:

(usualmente se denota la variación de aceleración llamada "jerk" con la letra $\Gamma$)

$a=\int\Gamma$ $\dd t$

Saludos

Te recomiendo que leas este enlace http://en.wikipedia.org/wiki/Jerk_(physics)

[arivasm]

Re: problema de dos asteroides que se acercan

No he reflexionado demasiado sobre la propuesta de henin. Mi aporte se refiere a lo siguiente: el problema que planteas es hasta cierto punto sencillo si la masa de uno de ellos es muchísimo mayor que la del otro. En tal caso, podemos considerar que el muy masivo está en reposo y que el otro cae en el campo gravitatorio del primero. Entonces, puede aplicarse el cálculo que está en este hilo. Para dos masas arbitrarias tengo que pensarlo algo más, pues la complicación surge de que debo elegir un sistema de referencia inercial (es decir, uno en el que se puedan aplicar las leyes de Newton) y considerar el que está centrado en uno de ellos no lo será. Prometo darle alguna vuelta mañana, con más tiempo.

En todo caso, yo también subrayo lo que te ha dicho henin de que no puedes suponer que la aceleración es constante.

[arivasm]

Re: problema de dos asteroides que se acercan

Completando lo que escribí anteriormente para el caso en que ambas masas sean comparables (o que no se pueda despreciar la de una de ellas): el cálculo del tiempo se realiza de la misma manera, salvo un pequeño cambio. Como la energía mecánica tomará la forma

$E=\dst\frac{1}{2}\mu v^2 - G \frac{M_1 M_2}{r}$

donde $\mu=M_1 M_2/(M_1+M_2)$ es la masa reducida del sistema, v es la velocidad de aproximación de los asteroides y r es la distancia que los separa, la ecuación que se cumple es la siguiente

$\dst\frac{1}{2}v^2-G \frac{M_1+M_2}{r}=-G \frac{M_1+M_2}{r_0}$

En consecuencia, la expresión final para la dependencia entre el tiempo y la distancia es ésta:

$t(r) = \dst\sqrt{\frac{r_0^3}{2G(M_1+M_2)}}\left( \frac{\pi}{2}-arctg\sqrt{\frac{r}{r_0-r}}+\frac{\sqrt{r}\sqrt{r_0-r}}{r_0} \right)$

Como vemos, la masa total del sistema afectará al tiempo de aproximación, de manera que a igualdad de condiciones, el tiempo disminuirá con la raíz cuadrada de la masa total del sistema.

Por último, con respecto a la aproximación de aceleración constante, por supuesto sólo será válida para valores de r muy próximos a $r_0$, es decir, para los primeros instantes de tiempo.

[hector_robles]

Re: problema de dos asteroides que se acercan

Hola. Muchas gracias a los dos.
Los alumnos son de 3º ESO, no han visto aún derivadas ni integrales. Pero la explicación es lo suficientemente clara como para comprenderlo yo y poder explicárselo a ellos.
Gracias también por los enlaces.
Un saludo.
Héctor.