1r ciclo Problema de estática.

[Redoks]

Hola.

No consigo resolver el siguiente problema:


He tomado N como eje vertical y me he puesto a plantear:

Px-Fr=0

x: P*sin(60)-P*cos(60)*u=0

el resultado no es el esperado...

Qué hago mal?

[angel relativamente]

Re: Problema de estática.

¿Y cuál es el resultado esperado?

[Redoks]

Re: Problema de estática.

1/sqrt(3).

[Al2000]

Re: Problema de estática.

El peso de la cuña se transmite a los bloques con una componente horizontal que tiende a separarlos ($M g \cos 30\°$) y una componente vertical que los presiona contra el piso ($M g \, \mathrm {sen} \, 30\°$). Dada la simetría de la situación cada bloque debe soportar la mitad del peso de la cuña. Entonces para un bloque deberá cumplirse que

$$\left (M g + \frac 1 2 M g \, \mathrm {sen} \, 30\° \right ) \mu > \frac 1 2 M g \cos 30\°$$

Saludos,

Al

[Redoks]

Re: Problema de estática.

El peso de la cuña se transmite a los bloques con una componente horizontal que tiende a separarlos ($M g \cos 30\°$) y una componente vertical que los presiona contra el piso ($M g \, \mathrm {sen} \, 30\°$). Dada la simetría de la situación cada bloque debe soportar la mitad del peso de la cuña. Entonces para un bloque deberá cumplirse que

$$\left (M g + \frac 1 2 M g \, \mathrm {sen} \, 30\° \right ) \mu > \frac 1 2 M g \cos 30\°$$

Saludos,

Al

Tu planteamiento no coincide con el resultado o no he resuelto yo bien la ecuación... El resultado según tu planteamiento es u=sqrt(3)/5 y el resultado que el autor propone es 1/sqrt(3).



Lo que si que parece ser correcto es lo siguiente:

P*cos(60)-P*sin(60)*u=0

Pero no entiendo muy bien el porque de esto... a ver si alguien consigue aclararme.
Un saludo.


Edito: Estaba planteando mal los ángulos... como siempre ). El planteamiento correcto seria:

x: P*sin(30)-P*cos(30)*u=0
U=tan(30)=1/sqrt(3)

[Al2000]

Re: Problema de estática.

...El resultado según tu planteamiento es u=sqrt(3)/5 y el resultado que el autor propone es 1/sqrt(3).
...

Pues el autor está equivocado...

Saludos,

Al

[carmelo]

Re: Problema de estática.

Hola:

No revisé los demás cálculos, pero yo obtengo como resultado $\mu\geqslant \dst\frac {1} {\sqrt{3}}$.

No tengo demasiado tiempo para exponerlo ahora, en cuanto pueda lo hago si es que alguien no lo hizo antes.

Asi que creo que el resultado del libro es correcto.

Saludos
Carmelo

[Al2000]

Re: Problema de estática.

Sip, tienes toda la razón, que por estar tomando atajos tomé la reacción normal como la mitad del peso de la cuña obviando el ángulo que forman. La ecuación que puse en mi primer mensaje debió decir $\dst \left(M g + N \, \mathrm {sen} \, 30\° \right) \mu > N \cos 30 \°$ con $\dst N = \frac 1 2 M g \csc 30\°$.

Una pifia mas en mi cuenta, que pena...

Saludos,

Al

PD: Redoks, la normal sale de hacer la suma de fuerzas verticales (las horizontales no te interesan) en la cuña: $2 N \, \mathrm {sen} \, 30\° = M g$.

[carmelo]

Re: Problema de estática.

Hola:

Bueno, expongamos detalladamente asi queda para que todos lo puedan ver.

Sea $R$ la fuerza de reacción entre la cuña y cualquiera de los bloques (es la misma para ambos debido a la simetría del problema).

Del diagrama de cuerpo libre para la cuña se tiene que:

$$2R\cos \alpha=Mg$$

Planteando ahora para cualquiera de los bloques se tiene:

$$R\sin\alpha=f_r$$

$$R\cos\alpha+Mg=N$$

La condición para que el bloque no deslice es:

$$f_r\leqslant \mu N$$

Operando se tiene:

$$R=\dst\frac{Mg}{2\cos\alpha}$$

$$\dst\frac{Mg\tan \alpha}{2}\leqslant \mu\left(\dst\frac {Mg}{2}+Mg\right)=\dst\frac32 \mu Mg$$

$$\boxed{\mu\geqslant \dst\frac{\tan \alpha}{3}=\dst\frac 1 {\sqrt 3}}$$

Saludos
Carmelo

PD: No generalizar este resultado para otros ángulos sin tomarse algo de tiempo para ver que este es un caso bastante particular. El caso mas general, que sería una cuña con sección de triángulo isósceles con ángulo al vertice inferior de $\alpha$, sería:

$$\mu \geqslant \dst\frac 1{3\tan(\alpha / 2)}$$

[Al2000]

Re: Problema de estática.

Errrr, creo que debiste haber puesto las ecuaciones apropiadas si ibas a usar un ángulo genérico $\alpha$, puesto que no hay manera de conciliar el primer resultado con el que pones en la postdata. Con tu permiso me permito corregir las ecuaciones (1)-(3) para ponerlas acordes con un ángulo genérico:

$$2 R \, \mathrm {sen} \, \frac \alpha 2 = M g$$

$$R \cos \frac \alpha 2 = f_r$$

$$R \, \mathrm {sen} \, \frac \alpha 2 + M g = N$$

de donde se deriva el resultado que pones en la postdata y del cual $1/\sqrt 3$ es un caso particular.

Saludos,

Al

[carmelo]

Re: Problema de estática.

Hola:

Lamento que no se haya entendido, la intención de la postdata era justamente esa, que no generalizaran a cualquier ángulo sin mas. Dado que en el enunciado se utiliza $\alpha=60^\circ$ y cuando aparece $\alpha$ lo que está significado es eso $60^\circ$. Asi que no considero que sea erróneo aunque admito que confuso quizas si.
Las ecuaciones planteadas para resolver el ejercicio son totalmente correctas para el planteamiento del mismo, una vez resuelto y dado que quedó en función de $\alpha$ surgió el temor de que alguien lo generalizara para cualquier ángulo y por eso adjunté el resultado para cualquier ángulo a los efectos de que si alguien quería hacerlo, tenia una referencia para comparar sus resultados. Hay que tener en cuenta que el caso planteado es particular dado que el semiángulo es igual al complementario del mismo, $\left(\dst\frac {60^\circ}2=90^\circ-60^\circ\right)$, cosa que no ocurre en los demas casos.

Saludos
Carmelo