1r ciclo Duda con el torque

[Julián]

El torque o par motor para una fuerza que actua sobre una partícula que se encuentra a una distancia $r$ del centro de rotación está definido como:

$\tau = F x r$

¿Por qué a mayor radio de aplicación de la fuerza se obtiene una mayor tendencia de giro? Si la aceleración tangencial será la misma no importa a que distancia del eje se aplique. (pensando en una rueda por ejemplo).

[Becquerel]

Re: Duda con el torque

Hola julian,

Supongo que la expresión que has puesto es: $\tau = F \times r$

Más que nada para evitar confusiones.

Piensa en el caso de una puerta, para cerrar la puerta tiene que producirse que la fuerza que tú apliques haga un momento determinado para hacerla girar. Supón que este es fijo para la puerta. Si aplicas la fuerza por el lado del pomo te resultará mucho más sencillo hacer girar la puerta que si te dedicas a aplicar la fuerza al lado de las bisagras (también puedes cerrarla, pero te costará mucho más). A mayor radio, menor fuerza necesitas aplicar para hacer un momento constante.

Puedes verlo directamente en la expresión.

Un saludo.

[Julián]

Re: Duda con el torque

Si, la experiencia lo demuestra puedo verlo, pero ¿existe alguna explicación de por qué es mas sencillo hacer girar la puerta si se aplica la misma fuerza en un radio mayor?

¿Esto se debe a que mientras mas cerca del eje de giro se aplica la fuerza, esta tiende a realizar un movimiento de traslación y mientras mas alejado del eje de la puerta se aplique la fuerza un movimiento de rotación?

[arivasm]

Re: Duda con el torque

Del mismo modo que el principio fundamental de la dinámica toma la forma, para la traslación, $\vec F = m \vec a$, en la rotación toma la forma $\vec \tau = I \vec \alpha$, donde I es el momento de inercia y $\alpha$ la aceleración angular. Por tanto, cuanto mayor sea el módulo del torque resultante, también será mayor la aceleración angular.

[Julián]

Re: Duda con el torque

Ah,¿ entonces por el echo de que en el movimiento rotacional las variables son I y $\alpha$, es neceario multiplicar a la fuerza tangencial por el radio, ya que es necesario ese dato para obtener $I$ y $\alpha$ ?

ya que:

${F}_{t } = m {a}_{t } = m (r \alpha ) = (m r) \alpha$

y $( m r) \neq I$ , entonces es necesario el radio en ${F}_{t }$ para obtener I.

El momento de inercia es la medida de oposición al cambio del movimiento circular, análogo a la inercia del movimiento traslacional pero además importa la distribución de las particulas con respecto al eje, y por lo tanto es necesario el dato del radio en esa fórmula.

Estoy en lo correcto? y la formula de la inercia se obtiene a partir del calculo de la energía cinética total del cuerpo?

[arivasm]

Re: Duda con el torque

Ten cuidado con la r de tus expresiones, pues no es la misma en el torque (o momento de la fuerza) que en el momento de inercia. Para aclararlo me referiré al ejemplo de la puerta, considerándola un rectángulo de masa M, longitud L y altura H, que gira en torno a un eje vertical que pasa por su lado de longitud H. El momento de inercia, que se calcula haciendo la integral $I=\int_0^L r^2 \dd m$ es $I=\frac{1}{3}M L^2$, donde he llamado r a la distancia de cualquier punto de la puerta al eje de giro pero, como ves, finalmente no depende de ello, sino de las características del objeto (y, por supuesto, del eje de giro). En resumen, el momento de inercia de la puerta es siempre el mismo, con tal de que gire sobe el mismo eje, independientemente de desde dónde vayas a aplicar la fuerza.

Por lo que se refiere al momento dinámico (o torque), respecto del eje de giro, en realidad habrá tres, salvo que dos de ellos serán nulos: los del peso y el de las fuerzas que ejercen los goznes. Así pues, el momento dinámico resultante será el de la fuerza que tú apliques, y valdrá, si empujas perpendicularmente al plano de la puerta, $F r$, donde r es la distancia entre el eje de giro y el punto donde aplicas la fuerza F.

Usando el principio fundamental de la dinámica de rotación tienes que $F r = I \alpha$. Conclusión: para conseguir la misma aceleración angular, $\alpha$, la fuerza que debes ejercer es inversamente proporcional a la distancia r: $F=I \alpha / r$. Por supuesto, otra lectura es la siguiente: si ejerces la misma fuerza F a diferentes distancias r del eje, las aceleraciones angulares que consigues serán proporcionales a r: $\alpha = F r / I$

[Umbopa]

Re: Duda con el torque

Tu ahora intenta abrir la puerta de tu casa con un dedo . Primero intenta abrirla poniendo el dedo en la parte más lejana a las bisagras.
Seguidamente repite el experimento poniendo el dedo cerca de las bisagras y compruébalo tu mismo . Cual te cuesta más? pues evidentemente si la fuerza esta mas cerca del centro te cuesta mucho mas porque el torque es mas pequeño...

[Julián]

Re: Duda con el torque

ah lo había razonado erróneamente, ahora entiendo que el radio en la expreción del integral para calcular el momento de inercia no es el mismo que el de la expresión del miembro de la fuerza. Pero entonces la duda que aparentemente había razonado es errónea, entonces me sigo quedando con el interrogante.

Sé y además he experimentado que a mayor distancia del eje de rotación, de un cuerpo con momento de inercia constante y para una fuerza tangencial constante, la aceleración angular es mayor. Pero ¿A que se debe esto? La relación ya esta hecha experimentalmente y es $F r = I \alpha$. y todos sabemos algebra, y si la fuerza y el momento de inercia son constantes, por lo tanto al aumentar el radio, aumentará la velocidad angular, pero ¿cual es la razón de esto? ó lo que es lo mismo ¿por qué están vinculadas estás variables?.
Entonces lo que me queda pensar es que: la fuerza actúa sobre toda la linea radial, es decir, sobre todo el módulo de $r$


Para dar un ejemplo, tengo un rectángulo de longitud $L$ y de altura$h$ , el momento de inercia del cuerpo es $I$, aplico una fuerza tangencial $F$ a una distancia ${R}_{1 } = L$ y aplico la misma fuerza $F$ a una distancia ${R}_{2 }$ y ${R}_{1 } > {R}_{2 }$. ¿La fuerza $F$ genera más aceleración angular en ${R}_{1 }$, porque actúa sobre toda la longitud, es decir, sobre todas la partículas del cuerpo en la linea radial y ${R}_{2 }$ en cambio actúa sobre las partículas del cuerpo que van del vector posicion ${R}_{2 } - {R}_{0 }$ siendo ${R}_{0 }$ el centro de rotación?

[arivasm]

Re: Duda con el torque

la fuerza actúa sobre toda la linea radial, es decir, sobre todo el módulo de $r$

No, la fuerza actuará sólo sobre la partícula del sólido en la que esté aplicada. El efecto indirecto sobre el resto de partículas del objeto se deberá al hecho de que sea un sólido rígido y, por tanto, a la acción de las fuerzas internas. Precisamente por ese motivo es más sencillo el enfoque si pensamos en el sólido rígido como un único cuerpo. Digamos que la dinámica de rotación nos permite eludir el tratamiento partícula por partícula.

¿La fuerza $F$ genera más aceleración angular en ${R}_{1 }$, porque actúa sobre toda la longitud, es decir, sobre todas la partículas del cuerpo en la linea radial y ${R}_{2 }$ en cambio actúa sobre las partículas del cuerpo que van del vector posicion ${R}_{2 } - {R}_{0 }$ siendo ${R}_{0 }$ el centro de rotación?

Aquí hay un error: todos los puntos del sólido rígido poseerán la misma velocidad angular, y entonces también la misma aceleración angular, respecto del eje de giro. Si no fuese así, el cuerpo se deformaría.

Sobre tu pregunta, la respuesta es la que comenté antes.

Saludos!

[Julián]

Re: Duda con el torque

No, la fuerza actuará sólo sobre la partícula del sólido en la que esté aplicada. El efecto indirecto sobre el resto de partículas del objeto se deberá al hecho de que sea un sólido rígido y, por tanto, a la acción de las fuerzas internas. Precisamente por ese motivo es más sencillo el enfoque si pensamos en el sólido rígido como un único cuerpo. Digamos que la dinámica de rotación nos permite eludir el tratamiento partícula por partícula.

Exactamente, si pensamos en un sólido ideal, por la acción de las fuerzas internas, todas las partículas del sólido experimentan una fuerza igual a la fuerza tangencial que se aplicó sobre una partícula de este.
¿Entonces todas las partículas (de igual masa en este caso por ser un sólido ideal), experimentan la misma aceleración tangencial? ¿O esta aceleración disminuye a medida que disminuye el radio?

Creo que acá esta mi duda, porque por sus respuestas:

Usando el principio fundamental de la dinámica de rotación tienes que . Conclusión: para conseguir la misma aceleración angular, , la fuerza que debes ejercer es inversamente proporcional a la distancia r: . Por supuesto, otra lectura es la siguiente: si ejerces la misma fuerza F a diferentes distancias r del eje, las aceleraciones angulares que consigues serán proporcionales a r:

Entonces, veo que no hay una explicación profunda, quiero llegar a entenderlo bien, no conformarme con que me digan $F = \frac{I \alpha }{ r}$

[arivasm]

Re: Duda con el torque

La relación entre aceleración tangencial y aceleración angular es $a_t=r'\alpha$, donde $r'$ es la distancia entre la partícula y el eje. Aclararé que he preferido llamarle $r'$ y no $r$ para que no la confundas con la $r$ que usé en mi post anterior para referirme a la distancia entre el eje y el punto de aplicación de la fuerza tangencial $F$.

Como en un sólido rígido en rotación en torno a un eje todas las partículas comparten la misma aceleración angular con respecto al eje, la conclusión es que no todas tienen la misma aceleración tangencial, sino que ésta aumenta con la distancia al eje, $r'$.

[Julián]

Re: Duda con el torque

Gracias arivasm por molestarte y responderme, mi duda con respecto al torque se aclaró cuando me di cuenta que significa "momento", vectorialmente hablando.

$M = \frac{dL}{dt } \wedge L = r x m{v}_{ t}$

Hablando coloquialmente el momento es la aplicación de un vector con respecto a un punto que tomamos como referencia. Porque un vector tiene módulo, dirección y sentido, pero no se especifica el punto de aplicación y como lo rodea, con el momento esto queda aclarado ¿Estoy en lo correcto?

Por ejemplo, la cantidad de movimiento es $p = mv$, el momento cinético además de $p$, es necesario especificar el sentido del giro por eso $L = r x p$.

Pero todabía hay cosas que no me quedan claras; por ejemplo que la dirección de $M = r x F$, sea perpendicular al plano que forman los vectores r y F, es una forma de representar el sentido de giro, al igual que el módulo $r F sen (\theta )$ no indica que la aceleración angular es mayor cuando el angulo que forma la fuerza con el brazo es 90º ya que $\sin (90º)= 1$, pero si el angulo que forma la fuerza con el brazo es 90º, para un mayor brazo ¿por qué es mayor la aceleración angular? que mas nos indica aca el módulo del momento.

saludos.

[arivasm]

Re: Duda con el torque

$M = \frac{dL}{dt } \wedge L = r x m{v}_{ t}$

Por si acaso, aclararé que son dos expresiones: $\vec M = \frac{\dd \vec L}{\dd t }$ y $\vec L = \vec r \times m \vec v$.

Hablando coloquialmente el momento es la aplicación de un vector con respecto a un punto que tomamos como referencia. Porque un vector tiene módulo, dirección y sentido, pero no se especifica el punto de aplicación y como lo rodea, con el momento esto queda aclarado ¿Estoy en lo correcto?

Yo no lo veo así. Para mí el momento de un vector con respecto a un punto es una operación matemática, que implica el vector y el punto respecto del cual se calcula el momento, y cuyo significado no es precisamente inmediato, pues se deduce del significado de la operación producto vectorial: vector área del paralelogramo que definen los dos vectores que se multiplican.

La traslación de eso tan abstracto al momento de una magnitud determinada, como por ejemplo, el de una fuerza ya es una cuestión diferente. Es lo que llamamos "significado físico" de la operación.

Así, por ejemplo, yo no comparto lo que dices de que el momento angular especifica la manera de girar. Me explicaré: considera el movimiento de un planeta alrededor de una estrella mucho más masiva que él. Como la fuerza que se ejerce sobre el planeta está dirigido hacia la estrella, el momento angular del planeta respecto de la estrella se conserva y me permite hacer el análisis habitual, ciertamente asociado con la rotación alrededor de la estrella. Pero no hay nada que me impida calcular el momento angular del planeta con respecto a otro punto cualquiera, incluso fuera del plano de su órbita. El resultado, además de ser un vector que no será constante no se prestará a una interpretación tan sencilla como en el caso de que el cálculo se haga con respecto al centro de la estrella.

Permíteme que te conteste sobre el resto de tu post otro día.

Saludos!

[Julián]

Re: Duda con el torque

Gracias por tu respuesta arivasm

Yo no lo veo así. Para mí el momento de un vector con respecto a un punto es una operación matemática, que implica el vector y el punto respecto del cual se calcula el momento, y cuyo significado no es precisamente inmediato, pues se deduce del significado de la operación producto vectorial: vector área del paralelogramo que definen los dos vectores que se multiplican.

Entonces tu dices que el significado físico del vector momento no es inmediato, es un interpretación matemática.
Por ejemplo en la cantidad de movimiento $\vec{p}= m\vec{v}$ ; el producto $m\vec{v}$, para mi es una interpretación directa, ya que en palabras, $m\vec{v}$, es tanta masa tiene tanta velocidad, hay una relación directa entre el significado y el módulo del vector.
Pero para representar el momento cinético $\vec{L} = \vec{r} x m\vec{v}$, los físicos utilizan el producto vectorial, la dirección del vector momento es perpendicular a ambos vectores, eso lo entiendo, es una forma de representar el giro, en vez de una flecha curva que sería mejor, pero ya que utilizamos el producto vectorial se llega a una convención, el sentido del momento nos indica para que lado gira. ¿Pero el módulo? que en este caso es $\left\vert{\vec{L} } \right\vert{} =\left\vert{\vec{r} } \right\vert{} * \left\vert{\vec{p} } \right\vert{} * sen (\phi )$ , matemáticamente lo entiendo como tanta masa tiene tanta velocidad $v$ y esa cantidad tantas veces como el radio $r$. Eso no lo entiendo, según mi lógica el módulo del vector momento angular tendría que ser $\left\vert{\vec{p} } \right\vert{}$

Saludos

[arivasm]

Re: Duda con el torque

El módulo del momento angular, en particular al dividirlo por la masa de la partícula, nos da la "velocidad" con la que barre áreas el vector $\vec r$, trazado desde el punto respecto del cual calculas el momento angular hasta la partícula. Cuando se conserva, se corresponde con el enunciado de la segunda ley de Kepler.

Perdona que hoy no desarrolle demasiado mi respuesta, pues ando un poco liado y sólo he entrado a la WDF porque me puede el "vicio".

Saludos!