Duda con el torque

[Julián]

Re: Duda con el torque

Ah ya lo entendí.

Pero este sería un análisis que va más allá de la dinámica ó es un análisis dinámico más profundo, por que la dinámica rotacional el movimiento se describe teniendo en cuenta variaciones del área.
¿Pero no hay una manera de describir la cinemática y la dinámica del movimiento rotacional de la misma manera que la cinemática y la mecánica del movimiento de traslación?, es decir, ¿por qué es necesario escribir la mecánica (geométrica, vectorial)de este movimiento con respecto a áreas? y entonces ¿esta es la diferencia entre la dinámica del punto material y la del sólido rígido?

[arivasm]

Re: Duda con el torque

¿Pero no hay una manera de describir la cinemática y la dinámica del movimiento rotacional de la misma manera que la cinemática y la mecánica del movimiento de traslación?, es decir, ¿por qué es necesario escribir la mecánica (geométrica, vectorial)de este movimiento con respecto a áreas? y entonces ¿esta es la
diferencia entre la dinámica del punto material y la del sólido rígido?

La cinemática y la dinámica admiten una única representación que pasa por emplear coordenadas generalizadas, es decir, cualquier conjunto de variables independientes que especifiquen completamente la posición de las partículas que componen el sistema. Me explicaré. Pensemos en un sistema estrella-planeta, con la estrella mucho más masiva que el planeta; para mayor sencillez queremos estudiar el momento referido al centro de masas del sistema, es decir, situar el origen de coordenadas en el centro de la estrella. Además, como el movimiento es plano tampoco nos complicaremos con tres dimensiones, pues con dos nos bastará.

Una alternativa a las coordenadas cartesianas es usar estas otras dos coordenadas: la distancia $r$ entre la estrella y el planeta y el ángulo $\theta$ que forma la línea estrella-planeta con cualquier dirección que escojamos previamente. Como ves, estoy diciendo que una alternativa es el uso de coordenadas polares.

Si la dirección de referencia que dije antes es la misma que tomamos como eje X, tendré que la transformación entre ambos sistemas de coordenadas es

$x = r \cos \theta$
$y = r \sin \theta$

o bien

$r^2=x^2+y^2$
$\tan \theta = \frac{y}{x}$

Desde el punto de vista de la cinemática no hay demasiada diferencia entre una descripción y otra. En lugar de las familiares ecuaciones de movimiento $x(t), y(t)$ tendremos otras dos $r(t), \theta(t)$.

Desde el punto de vista dinámico, tendré que tener cuidado si quiero emplear el principio fundamental de la dinámica en la forma $\vec F = m \vec a$. En coordenadas cartesianas será simplemente, si $m$ es la masa del planeta, $\vec a$ su aceleración, $\vec p$ su momento lineal etc.

$F_x = m a_x = m \dst\frac{\dd v_x}{\dd t}= \frac{\dd p_x}{\dd t}$
$F_y = m a_y = m \dst\frac{\dd v_y}{\dd t}=\frac{\dd p_y}{\dd t}$

aunque quizá me dé un poco de rollo tener que expresar $F_x$ y $F_y$, puesto que la fuerza en este caso sólo depende de $r$.

Si uso coordenadas polares tengo que hacer previamente la transformación de coordenadas a la que me referí antes y entonces la 2ª ley tomará una forma semejante(*):

$F_r = \dst\frac{\dd p_r}{\dd t}$
$0 = F_\theta = \dst\frac{\dd p_\theta}{\dd t}$

pero ahora tendré que apañármelas para encontrar la expresión para los momentos, para lo que deberé recurrir a las transformaciones de coordenadas que señalé antes. Por cierto que serán éstas:

$p_r=m \dst\frac{\dd r}{\dd t}$
$p_\theta=m r^2\dst\frac{\dd \theta}{\dd t}$

Si quiero encontrarle una interpretación física a estos dos momentos, resulta que el $p_r$ es la componente radial del momento lineal. ¿Pero qué es $p_\theta$?, que además será una magnitud importante para nuestro problema, pues al ser $F_\theta=0$ entonces se conservará. Pues es nuestro viejo amigo el momento angular.

Si quiero interpretarlo de alguna manera, puedo hacer uso de su definición "a pelo" y analizar qué diablos puede ser eso de $m r^2\frac{\dd \theta}{\dd t}$ y es aquí donde veo que si divido por la masa tengo la velocidad aerolar que corresponde al vector trazado desde la estrella hasta el planeta, bla, bla, bla.

Si lo expreso en coordenadas cartesianas veo que es igual al producto vectorial de bla, bla, bla...

Si lo veo con ojos más "naif" veo que juega el mismo papel en lo que se refiere a cambiar el ángulo $\theta$ que el que juega $p_x$ en lo que se refiere a cambiar la coordenada x.

No sé si con semejante discurso he ayudado a aclarar o a confundir! Espero que haya sido para lo primero!


Saludos!

(*) Debo aclarar que estoy llamando $F_\theta=-{\partial U}/{\partial \theta}$ siendo U la energía potencial, y análogamente para $F_x$ etc.

[Julián]

Re: Duda con el torque

Gracias por tu respuesta arivasm, se me ha aclarado esta duda que tengo hace tiempo. Solo hay una cosa que no me queda claro y como obtuviste ${p}_{\theta } = m {r}^{2 }\frac{d\theta }{ dt}$, no sería ${p}_{\theta } = m r \frac{d\theta }{dt } = mrw$ .

porque tenemos que la velocidad en coordenadas polares es : $\vec{v} = v \vec{{u}_{ r} } + r \frac{d\theta }{ dt} \vec{{u}_{\theta } }$

Por lo tanto: $\vec{P} = m * ( v \vec{{u}_{ r} } + r \frac{d\theta }{ dt} \vec{{u}_{\theta } }) = m v \vec{{u}_{ r} } +m r w \vec{{u}_{\theta } }$

[arivasm]

Re: Duda con el torque

El concepto de momento está ligado con las coordenadas generalizadas a través de la función lagrangiana, que se define como la resta entre la energía cinética y la potencial, $L=K-U$. Pues bien, el momento $p_i$ que corresponde a una coordenada $q_i$ se define como

$p_i=\dst\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}$

(uso un punto para indicar derivada respecto del tiempo). Por tanto, si la energía potencial no depende de la velocidad $\dot q_i$ la expresión anterior equivale a

$p_i=\dst\frac{\partial K}{\partial \dot q_i}$

En coordenadas polares la energía cinética es

$K=\dst\frac{1}{2}m \dot r^2+\frac{1}{2}m r^2\dot \theta^2$

y entonces el momento angular es

$p_\theta=\dst\frac{\partial L}{\partial \dot \theta}=m r^2 \dot \theta$

Como vemos, no es una componente del momento lineal. De hecho, este último resulta de un tratamiento idéntico, pero manejando las coordenadas cartesianas.

De todos modos, debo reconocer que cuando dije que $p_r$ era la componente radial del momento lineal quizá debí haber dicho que "era igual a la componente radial del momento lineal" y así no dar pie a que se pudiese pensar que la otra componente del momento lineal podría ser $p_\theta$.

Saludos!

PD: Caray!, para cuánto da el giro de una puerta, qué bien!

[Julián]

Re: Duda con el torque

Te sigo dando las gracias arivasm por responder, gracias a indicar con respecto al momento he aprendido los diferentes sistemas coordenados; pero creo que esto ya es muy avanzado para mi. Es mas ya se me hiso un lio (por tanta información) que ya me fui de lo que preguntaba al principio.

Por lo que tu me dices: $\vec{L}= K - U$

El momento es una cantidad vectorial que se mide con respecto a algo. $\vec{{p}_{i } }$ se mide con respecto a un punto y $\vec{{p}_{\theta } }$ se mide con respecto a una ¿?

[Cat_in_a_box]

Re: Duda con el torque

Por lo que tu me dices:

El momento es una cantidad vectorial que se mide con respecto a algo. se mide con respecto a un punto y se mide con respecto a una ¿?

No teniendo mucha idea de mecánica lagrangiana, creo que el problema que tienes con esto es una confusión con la notación utilizada. La L que te puso arivasm no es ninguna magnitud vectorial, si no la definición, clásica, de la función lagrangiana para un sistema conservativo, que viene a ser la diferencia de energía cinética y potencial (es por tanto una función escalar). No es que aporte mucho al hilo, pero mejor aclarar esta duda antes de reanudar la discusión. Por cierto, ya que arivasm te dedica su tiempo, lo mínimo que podrías hacer es agracedérselo dando al botón de gracias

Saludos,

[arivasm]

Re: Duda con el torque

Tienes razón en que el concepto de momento que he empleado es un tema avanzado, perteneciente a la llamada mecánica de Lagrange. El motivo por el que me referí a ella era responder a tu pregunta sobre si era posible unificar el tratamiento de la traslación y de la rotación.

En la mecánica lagrangiana el momento, que tiene la definición (que quizá suene algo "marciana") que comenté antes, participa en una importantísima ecuación (la ecuación de Euler-Lagrange) que de algún modo puede interpretarse como que la derivada temporal de un momento generalizado es igual a la fuerza correspondiente. Ahora bien, del mismo modo que la definición de momento no es simplemente masa por velocidad, sino lo que ya señalé, dicha fuerza generalizada también tiene su propia definición ($\partial L / \partial q_i$).

En cualquier caso, puesto que el tema podría corresponder con un curso posterior al que estás siguiendo, quizá convenga cambiar de punto de vista y "bajarse" a cosas más tradicionales. Así, podemos decir que el momento lineal de una partícula es $\vec p = m \vec v$ y que se relaciona con la fuerza resultante que actúa sobre ella según $\vec F = \dd \vec p / \dd t$, eso sí, siempre y cuando estemos empleando un sistema de referencia inercial.

Para la descripción de las rotaciones podemos hacer uso de $\vec F = \dd \vec p / \dd t$, por supuesto, pero en muchos casos resultará más cómodo recurrir al momento angular, $\vec L = \vec r \times \vec p$ (no confundir esta L con la que usé antes para la lagrangiana, de la que ya nos olvidamos en esta parte del post), donde $\vec r$ es el vector de posición de la partícula respecto de cierto punto fijo que, por supuesto, convendrá elegir adecuadamente (el centro de la rotación, o perteneciendo a un eje en torno al cual se rota) para ganar comodidad en comparación con el uso del momento lineal (aunque nada impide que seamos retorcidos y elijamos otros puntos).

Del mismo modo que la derivada temporal del momento lineal es igual a la fuerza resultante $\vec F$ que actúa sobre la partícula, la derivada temporal del momento angular es igual al momento de dicha fuerza $\vec M = \vec r \times \vec F$, calculado con respecto al mismo punto que hemos usado para el momento angular.

Todo lo que he dicho desde que nos olvidamos de las lagrangianas se refiere a una sola partícula. Si tengo un sistema de partículas podemos hacer las generalizaciones correspondientes: el momento lineal del sistema se define como la suma de los momentos lineales de sus partículas, y análogamente para el momento angular; sus derivadas temporales son iguales a la suma de las fuerzas externas (para $\vec P$) o momentos de éstas (para $\vec L$), etc.

Al relacionar $\vec P$ con la masa M del sistema es cuando nos aparece el concepto de centro de masa, pues $\vec P = M \vec V_m$, lo que es especialmente útil en el caso del sólido rígido, pues nos permite pensar en cuerpos como una puerta centrándonos únicamente en un solo punto.

Igualmente, para los sólidos rígidos, en los cuales la velocidad angular de rotación en torno a un eje dado es la misma para todas las partículas, encontramos la relación $\vec L = I \vec \omega$, siendo I el momento de inercia. De este modo, estaremos en la situación de analizar con cierta comodidad, por ejemplo, por qué es más cómodo abrir una puerta empujándola lejos de su eje que cerca....

Sé que me estoy pasando un poco con la longitud del post, pero me parecía conveniente para llegar a responder tu última pregunta:

El momento es una cantidad vectorial que se mide con respecto a algo. $\vec{{p}_{i } }$ se mide con respecto a un punto y $\vec{{p}_{\theta } }$ se mide con respecto a una ¿?

En primer lugar, como habrás visto, tenemos que tener cuidado cuando decimos "momento", sin más, pues hay un montón de conceptos que llevan ese término consigo. Ahora bien, es muy común hablar de momento para referirse a momento lineal, aunque me da la sensación de que no era el caso de tu pregunta, pues a continuación haces referencia a dos momentos diferentes, que entiendo que son el momento lineal y el momento angular.

Preguntas respecto de qué se miden ambas cantidades. En el caso del momento lineal la respuesta es que se mide con respecto a un sistema de referencia, exactamente igual que sucede con la velocidad. En el caso del momento angular se mide con respecto a un sistema de referencia *Y* un punto del espacio.

Así pues, el momento lineal no se mide con respecto a un punto. Es el momento angular el que lleva en su definición la medida con respecto a un punto.

Saludos!