Otras carreras Una mancuerna deslizándose por una pared

[beliytxuri]

Hola a todos:

Tenemos una mancuerna formada por dos esferas de masa m y unidas por una barra de masa despreciable de 1 m de longitud. (La distancia entre los centros de las esferas es de 1 m). Comienza a deslizar y la pregunta es:
Cuando ${v}_{1 } = {v}_{ 2}$, ¿cuánto vale la velocidad común?


Resolviendo el problema, he llegado a las siguientes conclusiones:
- El CM describe una circunferencia de radio 0'5m.
- Cuando ${v}_{1 } = {v}_{ 2}$, la mancuerna forma un ángulo de 45º con la vertical (y con la horizontal también).
- La ${v}_{CM } = \frac{1}{ 2}({v}_{ 2}\hat{\imath} - {v}_{1 }\hat{\jmath} )$

Sin embargo, todas estas expresiones conducen a relaciones que no proporcionan ningún resultado numérico concreto.

Planteo la conservación de la Energía Mecánica y llego a un resultado: 1'69 m/s.

Pero hete aquí mi sorpresa cuando el solucionario me indica 4'53 m/s, lo que a mí me parece una velocidad atroz. El CM tendría entonces una velocidad de 6'41 m/s = $\sqrt{{4'53}^{2 } + {4'53}^{2 } }$ y una energía cinética de 20'5.m J, que supera la potencial inicial de 9'81.m J (m es la masa en kg).

Además, cualquier masa dejada caer en caída libre desde un metro alcanza su velocidad máxima al llegar al suelo y ésta es: $\sqrt{2g} \approx$} 4'43 m/s, que sigue siendo inferior a la velocidad de la mancuerna cuando "ha caído sólo la mitad".

Aunque el solucionario del libro esté mal, tampoco tengo muy claro que la Energía se conserve.

Muchas gracias y un saludo.

[arivasm]

Re: Una mancuerna deslizándose por una pared

Pues coincido contigo. Sobre la conservación de la energía, si no hay rozamiento está claro que sí se cumplirá.

Efectivamente, es muy fácil concluir que la condición de velocidades iguales va a corresponder con un ángulo de 45º con la vertical. Si llamamos $\theta$ al ángulo entre la barra y la vertical, acudiendo precisamente a la conservación de la energía, en particular manejando la energía divida por m, que llamaré $\epsilon$, tenemos que $\epsilon = \frac{1}{2}v_1^2+\frac{1}{2}v_2^2+gL \cos \theta=g L$. Usando la relación que indicas para la velocidad del cdm tenemos que $2 v_{CM}^2=g L (1 - \cos \theta)$ y ya no nos queda más que hacer $\theta$=45º. A partir de ese valor encontramos la velocidad de las masas, que es la que indicas.

Edito: qué tonto soy. Acabo de darme cuenta con que bastaba con hacer $v_1=v_2$

[beliytxuri]

Re: Una mancuerna deslizándose por una pared

¿No es posible que existan otras fuerzas que efectúen un Trabajo sobre la mancuerna y aumenten su Energía Mecánica (Estoy pensando en las fuerzas normales de la pared y el suelo sobre la mancuerna)?

Muchas gracias y ¡malditos solucionarios!

[arivasm]

Re: Una mancuerna deslizándose por una pared

No, pues son perpendiculares a la trayectoria de las masas. Por tanto, al no realizar trabajo no pueden modificar su energía mecánica.

[beliytxuri]

Re: Una mancuerna deslizándose por una pared

OK. Eso pensaba yo.
Pero, por ejemplo (y a riesgo de que me llames 'mosca cojonera'), ¿puede que no sean perpendiculares a la trayectoria del centro de masas? De hecho, las pesas del extremo de la mancuerna giran en torno al centro de masas.
Y, lo peor, ¿por qué aparece este problema en el capítulo dedicado a la conservación del momento lineal? (Hablo de la 6ª edición del Tipler-Mosca).
Gracias por tu interés, arivasm.

[arivasm]

Re: Una mancuerna deslizándose por una pared

Prometo echarle un vistazo a lo que dices, pero tengo la sospecha de que si consideras el sistema como un todo ambas fuerzas de reacción (pared y suelo) realizarán trabajos opuestos. Sobre la conservación del momento lineal, francamente tampoco yo lo veo, pues el sistema no está libre de fuerzas y la resultante tampoco es nula (como evidencia el que no caiga uniformemente).

Por tanto, sobre lo de "mosca cojonera" quizá haya que aplicárselo al autor del libro. A ver si eso de Tipler-Mosca se refiere a eso precisamente!.

[Al2000]

Re: Una mancuerna deslizándose por una pared

Si sirve de algo, mi resultado es también 1.6948 m/s, el cual calculé obteniendo primero que cuando las velocidades son iguales el ángulo que forma la mancuerna con la vertical es de 45°:

$x^2 + y^2 = L^2 \quad \Rightarrow \quad x v_2 + y v_1 = 0$

y luego aplicando la conservación de la energía.

Saludos,

Al