Olimpiada Error en un problema

[angel relativamente]

Hola compañeros de foro, les traigo aquí un problema de la fase práctica de la olimpiada que no sé como abordar. El título de este hilo no corresponde directamente con el tema del problema. Esto se debe a que no me interesa tanto el problema en sí sino en general cómo abordar un problema práctico. Este problema lo he escogido a modo de ejemplo, para que sirva de pretexto. Dice así:

Tienes un muelle, distintas pesas y un cronómetro. Estudia el comportamiento estático y dinámico del muelle. En particular:

1. Determina la constante elástica del muelle de todas las formas que puedas.
2. Estudia cuándo deja un muelle de cumplir la ley de Hooke.
3. Haz un análisis del error cometido.


Sinceramente, no se muy bien qué narices hay que hacer. En primer lugar, no se si el experimento es físico (es decir, que te dan un muelle real) o mental (que tienes un hipotético muelle invisible e intangible). En cualquier caso, para el apartado 1, supongo que lo que haría sería hacer varias mediciones con cada masa (por ejemplo, 3), y aplicando la ley de hooke calcular k. Con los 3n valor de k (siendo n el número de pesas que tengo) haría la media aritmética para sacar un valor medio de k. En el ejercicio 2 la verdad no tengo mucha idea, supongo que deja de cumplirlo cuando supera el límite de elasticidad (y, con más razón, el límite de rotura). Pero la experiencia me dice (y no sé si esto es un "preconcepto" ) que después de mucho estirar un muelle acaba deformándose. ¿Qué diríais vosotros aquí?
Respecto al apartado 3, no tengo ni pajolera idea. No he visto en mi vida eso de los errores. Me vienen en mente conceptos como error absoluto y error relativo, pero la idea que tengo de ellos es muy vaga y la he adquirido de curiosear por algunos hilos del foro. ¿Cómo narices se hace un estudio del error cometido?

Muchas gracias por todo

¡Un abrazo!

[arivasm]

Re: Error en un problema

Para el 1 también se puede incluir la medida de k a través del período de oscilación. Para 2 se entiende que a medida que aumenta la masa, en la medida estática, se va produciendo una desviación de la linealidad. Para 3. imagino que se refiere a que en los tratamientos anteriores no se tienen en cuenta elementos tales como la masa del resorte, la rotación de la masa unida a él en la medida dinámica y cosas así.

[angel relativamente]

Re: Error en un problema

Para el 1 también se puede incluir la medida de k a través del período de oscilación.

Toda la razón, de hecho más que también diría que es el único método, al menos yo veo difícil medir distancias con un cronómetro, salvo que lo haga al estilo Bohr: Cojo dos cronómetros, y con uno cronometro cuánto tiempo tarda en caer el otro en una distancia igual a la longitud del muelle

Para 2 se entiende que a medida que aumenta la masa, en la medida estática, se va produciendo una desviación de la linealidad.

¿Y esas conclusiones las he de sacar experimentalmente o he de sabermelo de teoría?

Para 3. imagino que se refiere a que en los tratamientos anteriores no se tienen en cuenta elementos tales como la masa del resorte, la rotación de la masa unida a él en la medida dinámica y cosas así.

¿Y qué pasa con la precisión del cronómetro? ¿Y con mis reflejos?

¿Se puede hacer un análisis cuantitativo?

Muchas gracias por todo

Un saludo

[arivasm]

Re: Error en un problema

Oye, muy bueno lo del cronómetro! Claro que una alternativa sería medir el resorte en "cronómetros" (es decir, usándolo como unidad de longitud).

¿Y esas conclusiones las he de sacar experimentalmente o he de sabermelo de teoría?

Este es el "drama" de la enseñanza de la ciencia "a la española": al final se espera que el alumno sepa de antemano lo que tiene que contestar. Es lo mismo que sucede con la dichosa "competencia de interacción con el mundo físico", sí, sí, en teoría elaborar conocimiento a partir de la experiencia, bla, bla, bla; en la práctica machacarse con los tipos de rocas y bobadas así.

Confieso que mi respuesta anterior fue un tanto automática, porque por estas tierras las dos prácticas, de la medida de k por el método estático y por el dinámico, forman parte de las que entran en la selectividad, con lo que el tema es un estándar en las clases al final de curso.

Sobre la precisión del cronometrado, también tienes razón. Y el análisis de 10 debería incluir un tratamiento del error. Como acabo de decir, en mi automatismo sobre la cuestión no me salió mencionarlo porque suele exceder el nivel estándar de 2º de bach. (no me refiero a los olímpicos -¡sólo tuve uno!- sino a las clases "normales").

PD: Hablando de Olimpiada, conservo los ejercicios que le pusieron a mi único olímpico. Prometo subir alguno un día de éstos, pues los hay realmente bonitos.

MPD: ¡Antes olvidé incluir el saludo de despedida! (estaba viendo al Ministro de Educación al mismo tiempo que posteaba!). ¡Saludos, Ángel!

[dvc]

Re: Error en un problema

No estoy seguro pero creo que se debería hacer así:

Para el apartado 1, si tienes varias pesas distintas, en lugar de hallar la k en cada caso y hacer la media, haría un ajuste lineal. Es decir, si mides k por alargamientos, representaría $mg$ frente a $\Delta x$ y ajustaría los puntos a una recta cuya pendiente sea k. El ajuste lo puedes hacer a ojo o con el método de los mínimos cuadrados (el ajuste por mínimos cuadrados se puede hacer directamente con la mayoría de calculadoras).

Si mides k a través del periodo de las oscilaciones, representaría $\frac{T^2}{4\pi ^2 }$ frente a $m$ y ajustaría esos puntos a una recta (cuya pendiente será $\frac{1}{ k}$).

Para hallar los errores, dibujaría en ambos casos otras dos rectas de máxima y mínima pendiente que se ajusten razonablemente a los puntos. Esto se hace a ojo, existe un método más exacto para calcular la incertidumbre de la pendiente pero para olimpiadas de bachillerato no lo piden.
Una vez has dibujado a ojo estas dos rectas calculas la pendiente máxima y la pendiente mínima y, a partir de estos valores, calculas el valor máximo y mínimo de k. Así, la incertidumbre de k será:
$\Delta k=\frac{k_{max}-k_{min}}{2}$
Obviamente, para hacer todo esto conviene tener papel milimetrado.

En el caso de que sólo tuvieras una pesa, para medir el valor de k con su error, por ejemplo por el método dinámico, lo haría así:
Primero calcularía el valor de k mediante la siguiente fórmula.
$k=\frac{4\pi ^2m}{T^2 }$
Hallaría los errores de la medida de m y T. El error de T será prácticamente tu tiempo de reacción (una o dos décimas de segundo). Sin embargo, si mides el tiempo en el que la masa hace n oscilaciones y divides ese tiempo para n, el error de T será tu tiempo de reacción dividido para n. El error de m depende: si la masa las has medido con una balanza, el error de m será la resolución de la balanza dividido por 2. Una vez calculados los errores de m y T, hallaría los valores máximo y mínimo de k sustituyendo m y T por sus valores "máximos o mínimos" según corresponda. Por ejemplo, en nuestro caso:

$k_{max}=\frac{4\pi ^2(m+\Delta m)}{(T-\Delta T)^2 }$
$k_{min}=\frac{4\pi ^2(m-\Delta m)}{(T+\Delta T)^2 }$
$\Delta k=\frac{k_{max}-k_{min}}{2}$

Por último, si calcularas k por el método que propones, es decir, hallar el valor de k para cada caso y hacer la media, el error de la media sería el error típico (esta función también viene incorporada en la mayoría de las calculadoras).

No obstante, creo que para estos problemas lo mejor siempre que se pueda es ajustar los puntos a una recta. Además, de esta manera se resuelve directamente el apartado 2. Representas mg frente a $\Delta x$ y miras cuando los puntos dejan de ajustarse a una recta.

[Richard R Richard]

Re: Error en un problema

Sobre el punto 1 aclarar oscureceria, brillante creo

Pero sobre el 2 no se lo que sabra un estudiante de secundaria sobre el modulo elastico de un resorte, pero la forma mas practica para averiguarlo es cuando las mediciones las haces aumentando la masa de las pesas progresivamente , mides el $\Delta x$ luego vuelves a medir la longitud del resorte, si el resorte ya no mide lo mismo que antes del experimento es que se ha deformado plasticamente y no elasticamente, entonces ya no sigue la ley de hooke , si podra seguir siendo resorte pero tendra una nueva K a determinar.

En 3 si lo haces con las masas estaticas tendras errores en , la aceleracion de la gravedad que tiene una cierto +/- de precision, en el valor asignado a las masas, y la precision de la medicion de las longitudes, ( tambien pero seria rebuscado, las correciones por tempertura, y si la medicion se hace en el vacio, o en el aire, el cual influye con su empuje)
y si lo haces dinamicamente, tendras l la precision de la medicion de la masa, mas la precision de las mediciones con el cronometro, el rozamiento con el aire, y las complicaciones mas rebuscadas ya dichas)