1r ciclo Sólido rotando.

[xXminombreXx]

Tengo un problema con este ejercicio.

No puedo pegar el dibujo, así que lo describiré como mejor pueda. Espero que quede claro. Tenemos un disco de radio R. Este disco está sobre una superficie horizontal, de forma que ruede. Se hace una fuerza F paralela al suelo a una distancia r del centro del disco, de manera que rueda sin deslizar. El coef de rozamiento es $\mu$

La pregunta es cómo sacar la aceleración lineal del disco. Mi problema es el siguiente.

Primero puedo plantearlo por momentos de fuerza, aparece el que realiza la fuerza F, que será F·r, y luego el que realiza la fuerza de rozamiento, que será f·R, si f es la fuerza de rozamiento.

Mi primera pregunta es que si puedo decir directamente en este caso que f ha de ser $\mu N$, ya que en ese caso sería muy sencillo, simplemente sumo ambos valores, puesto que dan momentos de fuerza en la misma dirección y lo divido entre el momento de inercia para sacar la acel. angular, y con ella la lineal. El problema es que me parece muy raro, ya que dicho así el disco cogería más aceleración que si hubiese rozamiento, ya que hay dos fuerzas realizando momento en el mismo sentido, pero esto no tiene sentido físico (creo).

Mi otro camino sería plantear las fuerzas, de manera igual a la anterior, pero sin suponer que f = mu·N. Y a parte, por la primera ley de Newton, que ma = F-f.

¿Esto último es correcto? ¿Aunque no actúen sobre el centro puedo decir que la primera ley de newton se cumple de esa manera?

Si sigo por aquí sí llego a un resultado.

¿Alguna ayuda? El resultado segundo no tiene mucho sentido tampoco, ya que si hago que el radio r sea igual a R, me sale una fuerza de rozamiento que debería ser en valor absoluto, pero sale negativa...

[Cat_in_a_box]

Re: Sólido rotando.

Hola,

Bueno, en primer lugar voy a ponerte el dibujo que he hecho basándome en lo que has explicado. Perdona la sencillez, pero espero que nos ayude a guiarnos en el problema:



Bueno, parece en principio el típico problema de un sólido rodando sin deslizar. Yo todos estos problemas los resuelvo de la misma forma, aplicando la segunda, no primera , ley de Newton para la traslación del centro de masas y la segunda ley de Newton para la rotación alrededor del eje que pasa por el CM. Por tanto, tenemos que:

$$\dst\sum_{i=1}^n \tau_i = I\alpha_z$$

$$\dst\sum_{i=1}^n \vec F_{ext}=M\vec a_{CM}$$

Si el disco rueda sin deslizar, tenemos la relación cinemática: $a_{CM}=\alpha R$. Podemos utilizar esta relación para eliminar la aceleración angular de la primera ecuación. Además, hemos de tener en cuenta el momento de inercia de un disco (cabe destacar que el origen de momentos lo estoy tomando en el centro del disco):

$$\dst\sum_{i=1}^n \tau_i = I\alpha_z\Rightarrow Fr+f_rR=I\alpha=\dst\frac{1}{2}MR^2\dst\frac{a_{CM}}{R}=\dst\frac{1}{2}Ma_{CM}R$$

Pero claro, teniendo en cuenta la segunda ley de Newton aplicada a la traslación del CM del disco, tenemos que:

$$\dst\sum_{i=1}^n \vec F_{ext}=M\vec a_{CM}\Rightarrow F-f_r=Ma_{CM}$$

Por lo que:

$$Fr+f_rR=\dst\frac{1}{2}(F-f_r)R=\dst\frac{FR}{2}-\dst\frac{f_rR}{2}$$

De aquí podemos ya despejar la fuerza de rozamiento:

$$f_r\left(R+\dst\frac{R}{2}\right)=F\left(\dst\frac{R}{2}-r\right)$$

Por lo que:

$$f_r=\dst\frac{F\left(\dst\frac{R}{2}-r\right)}{\dst\frac{3R}{2}}\Rightarrow \boxed{f_r=\dst\frac{F}{3}\left(1-\dst\frac{2r}{R}\right)}$$

Por lo que despejando de una de las ecuaciones de arriba, ya obtienes la aceleración del CM (lineal) fácilmente:

$$\boxed{a_{CM}=\dst\frac{2F}{3M}\left(1+\dst\frac{r}{R}\right)}$$

Efectivamente, si haces que $r=R$,obtienes los siguientes resultados:

$$f_r=-\dst\frac{F}{3},\quad a_{CM}=\dst\frac{4F}{3M}$$

Por lo que, yo diría, que la segunda ley de Newton la puedes aplicar siempre de esa forma, ya que recuerda, que el movimiento de un sólido rígido, por complicado que sea, siempre se podrá descomponer en dos movimientos: traslación pura del CM y rotación pura alrededor del CM (podrías haber cogido otro eje de rotación, por ejemplo el del punto de contacto con el suelo, de modo que habría tenido que utilizar Steiner...). Revisa los cálculos por si me he colado en algo, pero a priori me parece que debería ser así.

Saludos,

[xXminombreXx]

Re: Sólido rotando.

Lo primero, muchas gracias por responder. Lo que has hecho ha sido desarrollar mi segunda forma, y llegas a lo mismo que yo... bien. El caso es que estás hallando fuerzas en valor absoluto. Todas deberían salir positivas, ¿no? ¿Cómo se interpreta físicamente que la fuerza de rozamiento llegue a 0 cuando $r = R/2$ y que si sigues subiendo el radio se haga negativa?

Por cierto el dibujo perfecto, es justo como el del pdf, te agradezco el esfuerzo.

[michaell]

Re: Sólido rotando.

Creo que el problema parte de que la fuerza de rozamiento va en sentido contrario al del dibujo, me explico.
Cuando el radio r es muy pequeño, la fuerza F tira mas del cilindro y lo hace rotar menos (menos par de fuerza, menos aceleracion angular)
Cuando el radio r es casi como R, la fuerza tiende mas a hacer rotar el sistema que a desplazar su centro de masas.
Por esto, cuando r=R/2 podriamos decir que lo que tira la fuerza F se compensa con lo que hace rotar. Asi para r>R/2 la fuerza de rozamiento tendra sentido hacia la derecha y para r<R/2 tendra sentido hacia la izquierda