1r ciclo Muelles

[xXminombreXx]

Este ejercicio, que no me sale.


Me piden lo primero la posición de equilibrio, teniendo los datos del dibujo. En el equilibrio, todas las fuerzas se anularán, así que me queda lo siguiente:

$$x = g\frac{M-m}{k}$$

Tomo x como eje vertical (el horizontal da lo mismo), y pongo x=0 en el alargamiento natural del muelle $l_0$. Supongo que M>m, si fuese al revés daría lo mismo.

Me piden ahora las ecuaciones dinámicas del movimiento, su solución y el periodo. Con esto tengo problemas.

Para las ecuaciones dinámicas, lo que hago es que para la masa m:

$$\sum F = F_m = T-P_m = am$$

Y para la masa M:

$$\sum F = F_M = T-kx-P_M = aM$$

Las aceleraciones son de igual valor pero sentido opuesto, si sustituyo la T en la segunda ecuación queda:

$$a(M+m) = g(M-m)+kx$$

No entiendo este resultado, ni como seguir. Todavía si el kx quedase negaivo podría interpretarlo como un movimiento armónico, que es lo que debe salir.

[xXminombreXx]

Re: Muelles

Vale, muestro mis progresos. Hecho por energías, auqneu me vendría muy bien la solución cinemática para ver cómo se hace, porque sigue sin salirme por ahí.

Pongo el orígen de potenciales en la posición de equilibrio, de modo que la energía total en el equilibrio sea 0. Al desplazar la masa M una distancia d hacia abajo, la energía total será:

$$E = \frac{1}{2}kd^2 + mgd - Mgd$$

Ahora cuando vuelva a pasar por el equilibrio, toda la energía será cinética, así que queda que en el equilibrio:

$$\frac{1}{2}(M+m)v^2 = \frac{1}{2}kd^2 + mgd - Mgd$$

Despejo v y queda:

$$v = \sqrt{\frac{kd^2+2gd(m-M)}{M+m}}$$

Esa será la velocidad máxima, que en un movimiento oscilatorio es $\omega A$ siendo A la amplitud, así que es $\omega d$. Dividmos la velocidad por d y queda:

$$\omega = \sqrt{\frac{kd+2g(m-M)}{d(M+m)}}$$

Así que el periodo es:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{d(m+M)}{kd+2g(m-M)}}$$

¿Está esto bien hecho? He supuesto que el el movimiento es armónico simple, lo que creo evidente... y creo no haber hecho más suposiciones, así que supongo que estará bien, pero me gustaría tanto confirmación como las soluciones del primer post. Me rechina un poco el resultado porque hay condiciones para las que m-M es negativo y quedaría raiz de un negativo, aunque eso desaparecería si pusiese el origen de potenciales en -d, ya que las E potenciales serían siempre positivas... luego lo pruebo así a ver que sale.

Un saludo.

EDITO: Cambiando el orígen el resultado es el mismo, ¿alguna ayudita?

[angel relativamente]

Re: Muelles

Hola, quizá esto te ayude

¡Saludos!

[xXminombreXx]

Re: Muelles

Vaya! O estamos todos en la complutense, o los profesores de las facultades de españa se comparten problemas, porque he visto ya varios por el foro que son IGUALES en enunciado apartados y preguntas... xD.

Muchas gracias, voy a leerlo a ver qué tal.

[xXminombreXx]

Re: Muelles

Bueno, lo he leído, hasta la última respuesta de AL, y la verdad no me convence por lo siguiente. El llega al final a considerarlo como si fuese una sóla masa de M+m, y halla la frecuencia angular como $\omega = \sqrt{\frac{k}{M+m}}$ Sin embargo, el sistema está montado de manera que la masa m tire hacia arriba. Si la masa m estuviese encima de la masa M, entonces el peso de ambas iría contra el muelle, y sí es como si tuviésemos la masa única de M+m, entonces sería un simple movimiento armónico con $\omega = \sqrt{\frac{k}{M+m}}$, sin embargo el efecto del peso de m sobre la masa M es una fuerza arriba, que será la tensión de la cuerda, tensión que además no es constante por estar acelerada, ¿no?

Para ver la diferencia entre ambas soluciones:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{M+m}+\frac{2g(m-M)}{d(M+m)}} \quad \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{M+m}}$$

Los resultados coinciden tan sólo si m=M. ¿Dónde está el error mío?

[hennin]

Re: Muelles

Porque has supuesto , incorrectamente, que en (2) no hay energía potencial elástica.

PD: yo soy otro complutense más xD

[xXminombreXx]

Re: Muelles

Porque has supuesto , incorrectamente, que en (2) no hay energía potencial elástica.

PD: yo soy otro complutense más xD

Porque en el equilibrio no la hay, ¿no? Si pongo ahí mi origen, entonces la energía elástica pot. es 0.

[hennin]

Re: Muelles

Hombre pues la energía potencial elástica no la puedes hacer 0 por arte divino.

Si te fijas en la figura inicial, cuando se ha movido una distancia x que ya has hallado, es cuando se alcanza el equilibrio. Fácilmente, se observa que el muelle se ha elongado x. Por tanto, no puedes decir que la Ep elástica es cero.

[xXminombreXx]

Re: Muelles

Pero la diferencia de energía potencial es la que interesa, si no la hago cero la peudo poner en x, pero entonces en ambos términos tendré que sumar esa energía potencial, el resultado no cambia.

En el otro lado de la ecuación la energía potencial elástica debería ser $\frac{1}{2}k(x_{eq}+d)^2$ así que se eliminarían.

[Al2000]

Re: Muelles

Piénsalo otra vez, que la energía potencial elástica varía con el cuadrado de la elongación:

$$\frac 1 2 k (x_{eq} + d)^2 - \frac 1 2 k x_{eq}^2 \neq \frac 1 2 k d^2$$

Saludos,

Al

PD. Por cierto, tu primera ecuación en tu mensaje original está mal, a menos que tu eje $x$ apunte hacia abajo. Nota que si $M > m$, la masa M debe bajar.

[xXminombreXx]

Re: Muelles

Es cierto, fallo mío. Reharé los cálculos, a ver a dónde llego. Gracias.

[Al2000]

Re: Muelles

Si usas tus mismas ecuaciones (con pequeños cambios) llegas al mismo resultado (ya lo hice ). Cambia tu primera ecuación por

$$x = g \frac {m - M} k$$

tu primera ecuación de energía por

$$E = \frac 1 2 k (x + d)^2 + mgd - Mgd$$

y tu segunda ecuación de energía por

$$\frac 1 2 (M+m)v^2 + \frac 1 2 k x^2 = \frac 1 2 k (x + d)^2 + mgd - Mgd$$

y date el gusto...

Saludos,

Al

PD. Releyendo este mensaje me doy cuenta de que al hacer copy & paste de las expresiones pasé por alto invertir los signos ante $m$ y $M$. Las dos últimas ecuaciones deberían decir $\cdots - m g d + M g d$.