Secundaria Dudas coeficiente de rozamiento

[angel relativamente]

Hola físicos del mundo. Hoy me ha surgido una duda sobre algo que creía tener bastante claro. Seguramente me esté pasando algo por alto porque estoy algo espeso, pero no voy a poder dormirme hasta que no vea el qué.

Supongamos un bloque de masa m que se desliza por un plano inclinado con rozamiento. Si conociésemos todos los datos (aceleración resultante y ángulo) podríamos calcular el coeficiente de rozamiento dinámico:

$$F_{res}=P_x - F_{roz}$$

$$a_{res}=g(\sin \alpha - \mu \cos \alpha )$$

De donde despejando:

$$\mu = \tan \alpha - \dfrac{a_{res}}{g \cos \alpha}=\dfrac{g\sin \alpha-a_{res}}{g\cos \alpha}$$

Me tiene un poco mosca que el coeficiente dependa del ángulo, tenía entendido que no dependía para nada, tan solo de la naturaleza de las superficies en contacto. Supongo que aquí, puesto que la aceleración resultante también depende del ángulo, al variar uno varía el otro y la expresión se mantiene constante. ¿Me equivoco?

Tengo más dudas, pero podré solventarlas solo, o no, según la respuesta de esta

Un saludo

Y muchísimas gracias

[Al2000]

Re: Dudas coeficiente de rozamiento

Creo que te estás autosuicidando En efecto la expresión no dice nada de como depende $\mu$ de $\alpha$. Me hiciste recordar el caso análogo del que estaba confundido cuando al calcular la densidad de un líquido con la simple fórmula $d = m/V$, se encontró con que la densidad del líquido es inversamente proporcional al volumen considerado, cuando el creía que era una propiedad del líquido...

Saludos,

Al

[angel relativamente]

Re: Dudas coeficiente de rozamiento

Buena respuesta Al, de las que hacen meditar. Evidentemente, una determinada masa ocupa un volumen, y la relación se mantiene constante, que es a lo que llamamos densidad. Parece análogo en este caso que yo planteo, pero la duda no me surgió exactamente así, sino de la siguiente manera:

Imaginemos un cuerpo en reposo sobre un plano inclinado. Si está en reposo parece evidente que:

$$F_{roz}=P_x$$

De donde despejando llegamos a:

$$\mu=\tan \alpha$$

Evidentemente este es el coeficiente de rozamiento estático. ¿Estaríamos aquí ante el mismo caso? La fórmula depende exclusivamente del ángulo. Como autorrespuesta solo se me ocurre que para que se de dicha situación (que la fuerza de rozamiento máxima sea igual a la componente x del peso) solo puede haber un valor para el ángulo. Por tanto para $\alpha$ cte, $\mu$ cte. ¿Sigo con el autosuicidio o cómo lo veis?

[Al2000]

Re: Dudas coeficiente de rozamiento

Exacto, la interpretación correcta es que el cuerpo bajará con velocidad constante cuando la tangente del ángulo (que es lo que puedes variar) iguale al coeficiente de rozamiento (que será una constante para las superficies implicadas).

Otro ejemplo. Es un resultado mas o menos conocido que cuando haces montones de arena o grano y se forma una pila cónica, el ángulo del cono viene determinado por el coeficiente de fricción estática entre las partículas.

A menos que sepas de antemano que las variables que aparecen en la definición de una cantidad son independientes entre si, no puedes decir nada acerca de cómo varia la cantidad con las variables. ¿De qué depende la densidad, $d = m/V$, de la masa y el volumen considerados? ¿De qué depende la capacidad eléctrica de un condensador, $C = Q/V$, de la carga del condensador y el voltaje aplicado? y una larga lista de etcéteras...

Saludos,

Al

[angel relativamente]

Re: Dudas coeficiente de rozamiento

Gracias Al, tus respuestas son siempre aclaradoras. Voy a particularizar más este problema, tal como me lo presentaron:

Tengo un plano inclinado, un transportador de ángulos, una cinta métrica y un cronómetro. Primero me piden varios valores (aceleración, velocidad, bla bla bla) para un ángulo de 30º. Después me piden el coeficiente de rozamiento dinámico, que es bastante trivial de despejar a partir de la fórmula de antes:

$\mu = \tan \alpha - \dfrac{a_{res}}{g \cos \alpha}$

Pero ahora me pidieron que calcule el dinámico. Aquí dudé mucho, y empecé a jugar con las fórmulas hasta llegar a la expresión anteriormente indicada:

$\mu=\tan \alpha$

(realmente es la fórmula de antes cuando $a_{res}=0$).

Claro, ¿pero quién era $\alpha$? ¿$30^o$? Imposible, con ese ángulo el bloque deslizaba. Lo que hice fue inclinar el plano hasta ver con qué angulo (máximo) el bloque se quedaba parado. Y dicho ángulo me salió $22^o$. Pero $\tan 22^o<\mu_c$ , y eso carecía de lógica. ¿Qué hice mal?

Saludos

[Al2000]

Re: Dudas coeficiente de rozamiento

Medir el coeficiente dinámico con las herramientas que indicas no es tan sencillo, a menos que seas capaz de medir la aceleración con suficiente precisión. Así de entrada se me ocurre la aproximación un tanto cándida de determinar el tiempo que tarda el cuerpo en recorrer una distancia $x$ a lo largo del plano inclinado y calcular su aceleración con la simple expresión $a = 2x/t^2$ y con esta aceleración calcular en coeficiente de rozamiento. Tendría que usarse un ángulo tal que el movimiento fuese acelerado partiendo del reposo, pues haciendo como planteas de que el cuerpo se detenga entonces el movimiento sería retardado y habría que considerar la velocidad inicial, lo que introduciría una complicación adicional a la hora de medir.

Bueno, son solo ideas, seguramente con huecos que rellenar.

Saludos,

Al

[angel relativamente]

Re: Dudas coeficiente de rozamiento

Medir el coeficiente dinámico con las herramientas que indicas no es tan sencillo, a menos que seas capaz de medir la aceleración con suficiente precisión. Así de entrada se me ocurre la aproximación un tanto cándida de determinar el tiempo que tarda el cuerpo en recorrer una distancia $x$ a lo largo del plano inclinado y calcular su aceleración con la simple expresión $a = 2x/t^2$ y con esta aceleración calcular en coeficiente de rozamiento. Tendría que usarse un ángulo tal que el movimiento fuese acelerado partiendo del reposo, pues haciendo como planteas de que el cuerpo se detenga entonces el movimiento sería retardado y habría que considerar la velocidad inicial, lo que introduciría una complicación adicional a la hora de medir.

Bueno, son solo ideas, seguramente con huecos que rellenar.

Saludos,

Al

Eso es exactamente lo que hice. Medí una distancia x (el propio plano tenía como una línea de salida y línea de meta, así que facilitaba la medición). Con un ángulo de inclinación de 30º (el que me pedían expresamente en el enunciado) medí el tiempo que tardaba en recorrerlo (lo medí 5 veces, y luego hice una media aritmética). Puesto que con dicho ángulo el movimiento era acelerado partiendo del reposo, utilicé la fórmula que indicas y calculé la aceleración. Ya sé que el valor no es muy exacto, pero supongo que será bastante aproximado. Y con dicho valor de la aceleración calculé el coeficiente de rozamiento dinámico. Luego hice lo descrito en el mensaje anterior, y vi que me salía mayor el dinámico que el estático. Cuando le preguntaron al profesor, coincidíamos en el valor (aproximado) del coeficiente dinámico (a todos le daba entre 0.41 y 0.43). Pero [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] que es ligeramente menor. ¿Qué habrías hecho tú para calcular el estático? ¿Está bien lo que he hecho? ¿Insinúas que el error es experimental (al fin y al cabo los números son muy parecidos) y no teórico?

Saludos y gracias

[Al2000]

Re: Dudas coeficiente de rozamiento

Mis recuerdos son vagos, pero creo que el procedimiento que usamos en el laboratorio fue un tanto directo. Usando una polea, aplicar un peso que ibamos incrementando paulatinamente hasta que el cuerpo en el plano (puesto horizontal) se movía y luego pesar el peso empleado. Siguiendo en en mismo orden de ideas del ejemplo que discutes tal vez se podría colocar el cuerpo sobre el plano (horizontal o poco inclinado) y aumentar gradualmente el ángulo hasta que el cuerpo empezase a moverse. Me da la impresión de que probablemente la medida sería mucho menos precisa, especialmente si se considera que la tangente de un ángulo aumenta muy rápidamente en la medida que el ángulo crece.

Saludos,

Al

PD. Releyendo tu mensaje anterior me da la impresión de que eso fue exactamente lo que hiciste, ¿me equivoco? Una pregunta, ¿y el valor de la aceleración de gravedad? ¿es bien conocido en tu laboratorio? ¿usaste el valor estandard? ¿cómo se comparan los valores que obtuviste a lo que se pueda conseguir en la web para el mismo tipo de superficies?

[angel relativamente]

Re: Dudas coeficiente de rozamiento

Mis recuerdos son vagos, pero creo que el procedimiento que usamos en el laboratorio fue un tanto directo. Usando una polea, aplicar un peso que ibamos incrementando paulatinamente hasta que el cuerpo en el plano (puesto horizontal) se movía y luego pesar el peso empleado. Siguiendo en en mismo orden de ideas del ejemplo que discutes tal vez se podría colocar el cuerpo sobre el plano (horizontal o poco inclinado) y aumentar gradualmente el ángulo hasta que el cuerpo empezase a moverse. Me da la impresión de que probablemente la medida sería mucho menos precisa, especialmente si se considera que la tangente de un ángulo aumenta muy rápidamente en la medida que el ángulo crece ... PD. Releyendo tu mensaje anterior me da la impresión de que eso fue exactamente lo que hiciste, ¿me equivoco?

Es exactamente eso lo que hice. Pero teniendo en cuenta que el plano era una madera de 1cm de grosor y que el transportador de ángulos es muy impreciso, perfectamente mi medición puede tener un error de 2 o 3 grados. Y si en lugar de $\tan 22^o$ hubiese sido $\tan 25^o$, entonces ya me sale $\mu_e> \mu_d$ (aunque la diferencia no llega ni a 0.05).

Una pregunta, ¿y el valor de la aceleración de gravedad? ¿es bien conocido en tu laboratorio? ¿usaste el valor estandard? ¿cómo se comparan los valores que obtuviste a lo que se pueda conseguir en la web para el mismo tipo de superficies?

Me hubiese gustado calcular yo mismo el valor de g, pero no disponía de mucho tiempo para la práctica (45 min, y además de lo indicado había que hacer más cálculos de energía disipada y un corto etcétera), así que para simplificar utilicé el valor de $g=9.8 \; m/s^2$

Pero vamos, la duda que tenía era básicamente teórica. ¿Para calcular el $\mu_e$ basta con aplicar $\mu_e=\tan \alpha$ siendo $\alpha$ el ángulo máximo con el que el bloque se queda en reposo? Es que me molestó el hecho de que dependiese del ángulo, y no solo eso, sino que conforme disminuía el ángulo (estamos moviéndonos en el intervalo $[0^o , 45^o]$ ), más disminuía el coeficiente de rozamiento, cuando estaba bastante claro que la fuerza de rozamiento aumentaba.

Bueno, voy a sacar conclusiones:

1- El coeficiente de rozamiento dinámico y estático depende exclusivamente de la naturaleza de las superficies. La fuerza de rozamiento, en cambio, sí depende del ángulo (pues depende de la normal).

2- Para calcular el coeficiente de rozamiento dinámico basta inclinar el plano hasta un ángulo con el que el bloque deslice partiendo del reposo y medir el tiempo que tarda en recorrer una distancia x. Se calcula la aceleración por procedimientos cinemáticos y se utiliza la fórmula:

$$\mu_d = \tan \alpha - \dfrac{a_{res}}{g \cos \alpha}$$

De donde NO se deduce que $\mu$ dependa del ángulo, pues $a_{res}$ depende del ángulo y al variar uno varía el otro, de modo que si realizásemos diversas experiencias con diversos ángulos entre las mismas superficies la expresión $\tan \alpha - \dfrac{a_{res}}{g \cos \alpha}$ sería constante.

3- El coeficiente de rozamiento estático es para el caso en que:

$$P_x=F_{roz} \quad \Rightarrow \quad a_{res}=0 \quad \Rightarrow \quad \mu_e=\tan \alpha$$

De donde tampoco se deduce que $\mu_e$ dependa del ángulo, pues dicha expresión es para un valor del ángulo concreto (el ángulo en el que fuerza de rozamiento MÁXIMA y peso se igualan).


¿He concluido bien?

Saludos y gracias

[Al2000]

Re: Dudas coeficiente de rozamiento

Todo se ve bien. Mi pregunta acerca del valor de la aceleración de gravedad local fue solo tratando de conseguir una justificación. Sin embargo los cálculos con los posibles valores extremos de g muestran que la variación es demasiado pequeña para considerarla como responsable.

Saludos,

Al

PD. En el proceso me enteré que puedes conseguir tu aceleración de gravedad local preguntando en WolframAlpha. Hasta un "widget" tienen para eso.