Otras carreras Duda problema muelle y rotación de cilindro.

[raprvers]

[FONT=ComicSansMS]Tengo una duda con el siguiente problema:[/FONT]

[FONT=ComicSansMS]Un tambor cilíndrico macizo y uniforme de masa 6 kg y diámetro 0,06 m rueda sin deslizamiento sobre una superficie horizontal. El eje del tambor está unido a un muelle de constante 4000 N/m. Determinar el periodo de oscilación de este cuerpo en torno a su posición de equilibrio, cuando el muelle está sin estirar ni comprimir.[/FONT]

[FONT=ComicSansMS]He intentado resolver el apartado del periodo igualando la energia potencial del muelle a la energia cinetica de rotación , pero mi duda es: ¿No faltaría el dato de la longitud del muelle en el enunciado para poder dar como solucion un valor numérico para el periodo?[/FONT]

[FONT=ComicSansMS]Si alguien conoce alguan otra forma de resolverlo para que no haga falta la longitud x en la energia potencial 1/2k*x^2 y puede decirmelo me sería de gran ayuda. Gracias.[/FONT]

[arivasm]

Re: Duda problema muelle y rotación de cilindro.

Imagina que el eje del cilindro está desplazado una pequeña distancia $x$ respecto de la posición de equilibrio. Sobre el cilindro actuarán dos fuerzas: la recuperadora del resorte, de módulo $kx$, y la de rozamiento $F_r$ que impide el deslizamiento. Aplicando el principio fundamental de la dinámica de traslación tendrás que $m \ddot x = - kx - F_r$. Por otra parte, por el principio fundamental de la dinámica de rotación tienes que $F_r r = I \alpha = I \ddot x / r$, siendo $r$ el radio del cilindro e $I$ su momento de inercia. Con esas dos ecuaciones obtienes una relación de la forma $\ddot x = - (2 k / 3 m) x$, que implica que el movimiento será armónico simple, y de período $2\pi\sqrt{3m/2 k}$.

[raprvers]

Re: Duda problema muelle y rotación de cilindro.

Pero una vez despejo la velocidad como segunda derivada de la posición ¿Cómo llego al periodo? ¿Mediante la fórmula a=ω^2*r? Seguría teniendo un periodo en función de x, no consigo llegar a la solución que me has dicho.

[beliytxuri]

Re: Duda problema muelle y rotación de cilindro.

¿No es $T=2\pi\sqrt{3m/2 k}$ el periodo, como bien dice arivasm?

[raprvers]

Re: Duda problema muelle y rotación de cilindro.

A mi me da:
T=2π(3Mr/-2kx)^1/2
Solo obtendría esa solucion si R=x.

[arivasm]

Re: Duda problema muelle y rotación de cilindro.

Teneis que tener cuidado con el significado de las variables. Yo he llamado $x$ a la distancia entre la posición actual del eje y la de equilibrio, es decir, la elongación del resorte. Su segunda derivada respecto del tiempo será la componente x de la aceleración y de ahí el que

$$m\dst\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}= -k x - F_r$$

donde he tenido en cuenta que si la componente x de la aceleración es positiva entonces la fuerza de rozamiento está dirigida en el mismo sentido que la fuerza recuperadora.

Para encontrar el valor de la fuerza de rozamiento $F_r$ aplicamos el principio fundamental de la dinámica de rotación, teniendo en cuenta que el momento de inercia del cilindro es $I= 1/2 m r^2$ (llamo r al radio del cilindro). Como la fuerza que realiza el resorte tiene un momento nulo con respecto al eje, el momento dinámico total será $F_r r$. Luego

$F_r r = \dst\frac{1}{2}m r^2 \alpha$

siendo $\alpha$ la aceleración angular que, al haber rodadura, cumplirá que

$r \alpha = \dst\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}$

Por tanto,

$F_r = \dst\frac{1}{2}m \frac{\dd^2 x}{\dd t^2}$

Substituyendo en (1) resulta

$m\dst\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}= -k x - \dst\frac{1}{2}m \frac{\dd^2 x}{\dd t^2}$

es decir

$$\dst\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}= -\frac{2k}{3m} x=-\frac{4\pi^2}{T^2}x$$

donde he utilizado el hecho de que si la aceleración es restauradora y proporcional a la elongación entonces el movimiento es armónico simple, con período T. Es decir, que la solución de la ecuación (2) es un oscilador armónico cuyo período es $T$.

[raprvers]

Re: Duda problema muelle y rotación de cilindro.

Muchas gracias ahora ya lo he entendido deduces que es un M.A.S y igualas la aceleración a=-ω^2*x, siendo ω=2pi/T.

[arivasm]

Re: Duda problema muelle y rotación de cilindro.

Exactamente!

Saludos!

[franco_c2]

Re: Duda problema muelle y rotación de cilindro.

Hola, tengo una duda sobre la ecuación diferencial

$m\dst\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}= -k x - F_r$

¿Por qué $F_r$ es negativa? Sé que como fuerza de rozamiento se opone al movimiento, pero $- F_r$ solo me indica (o yo lo entiendo así) que la fuerza tiene siempre dirección hacia el semieje negativo que se haya tomado. Creo que ésta debería ser opuesta a $\dst\frac{\dd x}{\dd t}$. He pensado, bueno $F_r=\dst\frac{1}{2}m\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}$ lo cual $- F_r$ dice que es opuesta a la aceleración, pero esto no siempre es así. Estoy confundido

[arivasm]

Re: Duda problema muelle y rotación de cilindro.

La solución planteada en este hilo está formulada sobre el caso en que el cilindro se esté desplazando en el sentido positivo. Si consideramos que lo hiciese en el sentido negativo entonces ciertamente aparecería $+F_r$, pero entonces también habría un cambio de signo se produciría en la ecuación de la segunda ley de Newton de la dinámica de rotación. Al combinar ambas ecuaciones la que resulta es exactamente la misma.