Divulgación atracion gravitatoria entre masas

[natanael]

dios tiene sujedas dos masas m1 y m2 en el espacio vacio y separadas a una distancia d, viene el diablo y le patea el trasero a dios y como consecuencia suelta las masas, un fisico observando la situacion le importa mas el hecho de como varia la distancia d en funcion del tiempo que el futuro lio entre las dos deidades



ahora si va en serio, como variara la distancia d en funcion del tiempo $\dst d=f(t)$, con velocidades iniciales nulas y con fuerzas centrales atractivas las producidas por las particulas?

[Visitante]

Re: atracion gravitatoria entre masas

Creo que tienes la respuesta en 2 'hilos'.
1.- Problema de 2 asteroides que se acercan. De 20/1/2012.
2.- Caida libre. Aceleracion de la gravedad variable. De 17/1/2012.
Un saludo.

[arivasm]

Re: atracion gravitatoria entre masas

Como he participado en los hilos que indica FVPI, incluiré la respuesta que he recogido en uno de ellos para el problema formulado al revés: qué valor del tiempo corresponde a una distancia dada:

$t(r) = \dst\sqrt{\frac{r_0^3}{2G(M_1+M_2)}}\left( \frac{\pi}{2}-arctg\sqrt{\frac{r}{r_0-r}}+\frac{\sqrt{r}\sqrt{r_0-r}}{r_0} \right)$

donde $r_0$ es la distancia inicial y donde se presupone que corresponde con una velocidad nula.

Por supuesto, $r(t)$ es la función inversa de ésta, pero, como ves, debe obtenerse numéricamente, a través de la función implícita anterior, que no admite una inversa explícita.

PD: La demostración es análoga a la que está en el otro hilo que dice FVPI, en esta entrada.

[natanael]

Re: atracion gravitatoria entre masas

hola FVPI y arivasm, fijense, agarré un borrador que tenia y lo lanzé desde 1 metro de altura y medi el tiempo que tardó en caer, y resulto ser de 540 milésimas de segundo, segun la ecuación que dice que $h=\frac{1}{2}gt^2$ tenemos que $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2(1)}{9.80665}}=0.45160075575178754\,s$ , cuyo resultado difiere en un 16.37% con respecto al tiempo que yo medí con el cronómetro.

ahora vamos a tratar de medir ese tiempo con la ecuación que tu pones

sea

radio de la tierra $\equiv r_T=6.37\times 10^6\,m$
altura del objeto con respecto a la superficie de la tierra $\equiv r=1\,m$
por lo tanto $r_0=r_T+r$
masa de la tierra $\equiv m_T=5.98\times 10^{24}\,kg$
masa del borrador $\equiv m_b\approx 0.002\,kg$

si sustituyes estos datos en tu formula, verás que obtendras un resultado de apróximadamente 894.580972979\,s que difiere en un 99.93963654310669% del valor del tiempo que medí con e cronómetro y en un 99.94951818008738% del resultado que se obtubo con $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$.

ahora bien el resultado que voy a obtener tambien está malo porque me sale un signo menos todo raro pero básicamente es lo mismo que hicieron ustedes

de la consevacion de la energía $E_0=\frac{1}{2}\mu{v_0}^{2}-\frac{GmM}{{r_0}^{2} }$
como $v_0=0$ entonces
$\frac{1}{2}\mu{v_0}^{2}=0$
y $E_0=-\frac{GmM}{{r_0}^{2} }=\frac{1}{2}\mu{v}^{2}-\frac{GmM}{{r}^{2} }$
se obtiene que $v=\sqrt{\frac{2G\left( m+M \right)\left( r_0-r \right) }{rr_0} }$
pero como $v=\frac{\dd r}{\dd t}$
entonces $\dd t=\frac{1}{2G\left( m+M \right) } \sqrt{\frac{rr_0}{r_0-r} } \dd r$
que integrando nos queda $t=\frac{1}{2G\left( m+M \right) } \int \sqrt{\frac{rr_0}{r_0-r} } \dd r$
entonces tenemos que resolver es esta integral
$\int \sqrt{\frac{rr_0}{r_0-r} } \dd r$
si hacemos el cambio t= $\sqrt{r_0-r}$ nos queda
$-2\sqrt{r_0} \int \sqrt{{\left( \sqrt{r_0} \right)}^{2}-{\left( t \right) }^{2} } \dd t$
como esa cosa ya está tabulada en un librito que tengo, me resulta que
$\int \sqrt{a^2-x^2} \dd x=\frac{1}{2} \left( x \sqrt{a^2-x^2} +a^2{\sin}^{-1}\left( \frac{x }{a} \right) \right)$
por lo tanto al final me resulta que
$t=-\frac{\sqrt{r_0} }{2G\left( m+M \right) } \left[ \sqrt{r\left( r_0-r \right) }+r_0{\sin }^{-1}\left( \frac{\sqrt{r_0-r} }{r_0} \right) \right]$

si sustuimos los valores correspondientes a la caida libre del borrador a la altura de un metro, en esta última expresión entonces obtengo que el tiempo es de $-0.451066902006\,s$, como ven simplemente está MALO ya que un tiempo negativo solo es posible en el juego TimeShift, pero su módulo tiene mucho sentido, ya que el valor obtenido con $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$ es 0.0005338537457875159 sengundos mayor que se obtubo con mi resultado, y es obvio ya que la fuerza de atración gravitatoria es mayor cuando los cuerpos estan cada vez más próximos.

Ahora mi siguiente pregunta es, ¿de donde salió el signo menos?

edicion:

el producto $2G\left( m+M \right)$ en realidad es $\sqrt{2G\left( m+M \right)}$

[arivasm]

Re: atracion gravitatoria entre masas

Revisaré el cálculo que dices, pero me extraña el resultado que indicas, de 894 s. Con respecto a tu demostración tienes un error en la energía potencial gravitatoria, pues no es $-G M m/r^2$, sino $-G M m /r$

[natanael]

Re: atracion gravitatoria entre masas

si tienes razón tu resultado esta hiper-correcto, yo estaba introduciendo mal los datos, no había caido en cuenta que esa función da el tiempo es para una determinada distancia de separación entre las masas.

In[39]:= ClearAll[h, m, M, G, rt, r0, d, t]
h = 1;
m = (0.002/(5.976*10^24))*5.976*10^24;
M = 5.976*10^24;
G = 6.67259*10^(-11);
rt = 6.37*10^6;
r0 = rt + h;
d = rt;
t = Sqrt[r0^3/(2*G*(m + M))]*(Pi/2 - 
    ArcTan[Sqrt[d/(r0 - d)]] + (Sqrt[d]*Sqrt[r0 - d])/r0)

Out[47]= 0.45113

con estos cálculos usando mathematica, si da la cosa y tiene mucho sentido, ya que usando gravedad constante $t=\sqrt{\frac{2h}{ g} }$ resulta 0.45160 segundos, para 100 metros $t=\sqrt{\frac{2h}{ g} } = 4.5160\,s$ y tu ecuación da 4.5113 segundos.

ahora si confío más en tu resultado, lo necesitaba porque lo voy a usar para otro hilo, gracias.

SaLuDoS.

[arivasm]

Re: atracion gravitatoria entre masas

Nuestro amigo Al2000 ha señalado muy acertadamente que la expresión que recogí anteriormente admite otras formas más sencillas, como es

$\dst t(r) = \sqrt{\frac{r_0^3}{2G(M_1+M_2)}}\left(\frac{\sqrt r \sqrt{r_0-r}}{r_0} + \tan^{-1}\sqrt{\frac {r_0-r} r}\right)$

o también

$\dst t(r) = \sqrt{\frac{r_0^3}{2G(M_1+M_2)}}\left[\sqrt{\frac r {r_0}\left(1 - \frac r {r_0}\right) } + \cos^{-1}\sqrt{\frac r {r_0}}\right]$

Aprovecharé este post para decir que si $r\cong r_0$ podemos recurrir a un desarrollo en serie de orden 1. Llamando $h=r_0-r$, podemos escribir la última expresión como

$\dst t(r) = \sqrt{\frac{r_0^3}{2G(M_1+M_2)}}\left[\sqrt{\left(1 - \frac {h} {r_0}\right) \frac {h}{r_0}} + \cos^{-1}\sqrt{1- \frac h {r_0}}\right]$

Usando los siguientes desarrollos de orden 1 en torno a $x=0$

$\sqrt{x(1-x)}\approx \sqrt{x}$

$\cos^{-1}\sqrt{1-x}\approx \sqrt{x}$

tenemos que

$\dst t(r) = \sqrt{\frac{r_0^3}{2G(M_1+M_2)}}\left[\sqrt{\left(1 - \frac {h} {r_0}\right) \frac {h}{r_0}} + \cos^{-1}\sqrt{1- \frac h {r_0}}\right]\approx \sqrt{\frac{r_0^3}{2G(M_1+M_2)}} 2 \sqrt{\frac h {r_0}}$

es decir

$\dst t(r)\approx \sqrt{\frac{2 r_0^2 h}{G(M_1+M_2)}}$

Por tanto, si $M_1\gg M_2$,

$\dst t(r)\approx \sqrt{\frac{2 r_0^2 h}{GM_1}}=\sqrt{\frac{2 h}{g}}$

como era de esperar.