1r ciclo Trabajo para vaciar un recipiente

[javier m]

Un tanque está lleno de agua. Determine el trabajo necesario para que, mediante bombeo, el agua salga por el tubo de decarga. En los ejercicios 23-24 recuerde que el agua es 62.5 lb/$pies^3$




Como se supone que se resuelven estos ejercicios

Centremonos en el 19

Yo opino que hay que calcular el trabajo necesario para subir toda el agua hasta 3 metros y sumarle el trabajo para subirla por el tubo.
Pero no estoy seguro si lo plantié bien

Lo puse así $\dst\int_0^3 \rho\cdot 8g (2x)\cdot (3-y)dy+2\rho\cdot V$

PD:$y$ es la altura

$2x$ es el ancho

$8$ es la otra longitud del recipiente

$\rho$ y $g$, densidad y gravedad

$3-y$ es la distancia hasta la base del tubo

$2$ la longitud del tubo

y $V$ el volumen total del liquido

[arivasm]

Re: Trabajo para vaciar un recipiente

No sé si será el mismo enfoque. Yo lo haría así: sea $x$ la altura. En cada recipiente tenemos una sección transversal (en el plano YZ) $S(x)$, que depende de la forma del recipiente. Sea $h$ la altura del recipiente y $d$ la altura del punto de salida. El trabajo necesario para llevar toda el agua, si su densidad es $\rho$, es para cada recipiente

$W=\rho g \int_0^h (d-x) S(x) \dd x$

Así, por ejemplo, en el primer recipiente $S(x)=8 x$ y entonces $W=\rho g \int_0^3 (5-x) 8x \dd x$.

Por supuesto, también se puede hacer como indicas, separando el trabajo en dos partes: elevar hasta la parte superior del recipiente y luego trasladar todo el volumen hasta la salida. Claro que de esa manera tampoco acortas nada, pues al final vas a tener que pelearte con las dos integrales de antes, $\int S(x) \dd x$ y $\int x S(x) \dd x$

[Al2000]

Re: Trabajo para vaciar un recipiente

javier m, ¿tienes las respuestas? Me gustaría confirmar mis resultados, especialmente para el tronco de cono: 21: $\notcien {1.06}{6}\,\mathrm{J}$, 22: $\notcien {4.44}{6}\,\mathrm{J}$, 23: $\notcien {1.41}{5}\,\mathrm{J}$, 24: $\notcien {6.10}{4}\,\mathrm{J}$

Saludos,

Al

[javier m]

Re: Trabajo para vaciar un recipiente

javier m, ¿tienes las respuestas? Me gustaría confirmar mis resultados, especialmente para el tronco de cono: 21: $\notcien {1.06}{6}\,\mathrm{J}$, 22: $\notcien {4.44}{6}\,\mathrm{J}$, 23: $\notcien {1.41}{5}\,\mathrm{J}$, 24: $\notcien {1.02}{5}\,\mathrm{J}$

Saludos,

Al

Tengo el de la 19 y el de la 21
21: $\approx 1.06\cdot 10^6 J$
23: $\approx 1.04\cdot 10^5 ft-lb$

Centremonos en el 19

ups, era el 21

[Al2000]

Re: Trabajo para vaciar un recipiente

Chévere, coincidencia total (diría Roberto Carlos ). Puedes hacer el cálculo rápidamente si te apoyas en propiedades conocidas de las figuras geométricas. Si debes evaluar las integrales, pues ni modo.

En cada caso el cálculo será $W = m g \Delta H = \rho V g \Delta H$, donde $\Delta H$ es la distancia que debe subir el centro de masa del fluido que llena el tanque y $V$ el volumen de tal fluido:

- Caso 21: $\dst V = \frac 1 2 (3\,\mathrm{m})(3\,\mathrm{m})(8\,\mathrm{m}), \quad \Delta H = (2\,\mathrm{m}) + \frac 1 3 (3\,\mathrm{m})$

- Caso 22: $\dst V = \frac {4 \pi } 3 (3\,\mathrm{m})^3, \quad \Delta H = (1\,\mathrm{m}) + (3\,\mathrm{m})$

- Caso 24: $\dst \frac 1 2 (12\,\mathrm{ft}) (6\,\mathrm{ft})(10\,\mathrm{ft}), \quad \Delta H = \frac 1 3 (6\,\mathrm{ft})$

El caso 23 es el mas elaborado. Llamando $r_1$ el radio de la base del tronco de cono, $r_2$ el radio del tope y $h$ la altura, el volumen y la posición del centro de masa son:

$\dst V = \frac \pi 3 \left(r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2 \right) h, \quad y_\text {cm} = \frac h 4 \cdot \frac {r_1^2 + 2 r_1 r_2 + 3 r_2^2}{r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2}$

Saludos,

Al

[javier m]

Re: Trabajo para vaciar un recipiente

Por supuesto, también se puede hacer como indicas, separando el trabajo en dos partes: elevar hasta la parte superior del recipiente y luego trasladar todo el volumen hasta la salida. Claro que de esa manera tampoco acortas nada, pues al final vas a tener que pelearte con las dos integrales de antes, $\int S(x) \dd x$ y $\int x S(x) \dd x$ [/LEFT]
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Muchas Gracias arivasm
Lo hice así y no como tu lo hiciste, porque no se me ocurrió.

Chévere, coincidencia total (diría Roberto Carlos ). Puedes hacer el cálculo rápidamente si te apoyas en propiedades conocidas de las figuras geométricas. Si debes evaluar las integrales, pues ni modo.

En cada caso el cálculo será $W = m g \Delta H = \rho V g \Delta H$, donde $\Delta H$ es la distancia que debe subir el centro de masa del fluido que llena el tanque y $V$ el volumen de tal fluido:

- Caso 21: $\dst V = \frac 1 2 (3\,\mathrm{m})(3\,\mathrm{m})(8\,\mathrm{m}), \quad \Delta H = (2\,\mathrm{m}) + \frac 1 3 (3\,\mathrm{m})$

- Caso 22: $\dst V = \frac {4 \pi } 3 (3\,\mathrm{m})^3, \quad \Delta H = (1\,\mathrm{m}) + (3\,\mathrm{m})$

- Caso 24: $\dst \frac 1 2 (12\,\mathrm{ft}) (6\,\mathrm{ft})(10\,\mathrm{ft}), \quad \Delta H = \frac 1 3 (6\,\mathrm{ft})$

El caso 23 es el mas elaborado. Llamando $r_1$ el radio de la base del tronco de cono, $r_2$ el radio del tope y $h$ la altura, el volumen y la posición del centro de masa son:

$\dst V = \frac \pi 3 \left(r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2 \right) h, \quad y_\text {cm} = \frac h 4 \cdot \frac {r_1^2 + 2 r_1 r_2 + 3 r_2^2}{r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2}$

Saludos,

Al

Genial
Gracias.