Secundaria Formula de Aceleracion Centripeta

[Enphym]

Hola a todos, les pido un favor, alguien me puede decir como es el procedimiento para llegar a la formula de aceleracion centripeta, es que he visto varios libros, y no entiendo, y estoy a punto de hacerme una confusion en mi cabeza.
Gracias por su ayuda.

[javier m]

Re: Formula de Aceleracion Centripeta

Pues si el movimiento es circular uniforme ($\omega$es constante) podría ser (hay muchas formas) así.
Digamos que el centro del circulo esté en el origen y llamemos $R$ al radio

El vector posición sería así

$$\vec{r}=x\hat{\imath} +y\hat{\jmath}$$

Donde $x=R\cos\theta$
$y=R\sin\theta$

pero como $\omega=\dfrac{\theta-\theta_0}{t-t_0}$, entonces $\theta=\theta_0+\omega(t-t_0)$

Reemplazando todo esto en (1) quedaría

$\vec{r}=R\cos(\theta_0+\omega(t-t_0))\hat{\imath}+R\sin(\theta_0+\omega(t-t_0))\hat{\jmath}$


Sabemos que $\vec{v}=\dd\vec{r}/\dd t$

De modo que derivamos a $\vec{r}$ para obtener a $\vec{v}$ (acuérdate de la regla de la cadena)

$$\vec{v}=\dd\vec{r}/\dd t$$

$$=-R\sin(\theta_0+\omega(t-t_0))\dd /\dd t[\theta_0+\omega(t-t_0)] +R\cos(\theta_0+\omega(t-t_0)) \dd /\dd t [\theta_0+\omega(t-t_0)]$$

donde

$$\dd /\dd t [\theta_0+\omega(t-t_0)]=\omega$$

ya que $\theta_0,\omega$ y $t_0$ son constantes

$$\vec{v}=\dd\vec{r}/\dd t=-\omega R\sin(\theta_0+\omega(t-t_0))\hat{\imath} +\omega R\cos(\theta_0+\omega(t-t_0))\hat{\jmath}$$

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
$\vec{a}=\dfrac{\dd \vec{v}}{\dd t}$

Derivo a $\vec{v}$ (usando a (a)

$\vec{a}=-\omega ^2R\cos(\theta_0+\omega (t-t_0))\hat{\imath}- \omega ^2R\sin(\theta_0+\omega (t-t_0))\hat{\jmath}$

La magnitud de $\vec{a}$, osea, $|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$

$$|\vec{a}|=\dst\sqrt{\omega^4R^2\sin^2(\theta_0+\omega(t-t_0))+\omega^4R^2\cos^2(\theta_0+\omega (t-t_0))}$$

$$=\dst\sqrt{\omega^4R^2[\sin^2(\theta _0+\omega(t-t_0))+\cos^2(\theta_0+\omega (t-t_0))]}$$

recordando que $sin^2+\cos^2=1$

$|\vec{a}|=\dst\sqrt{R^2\omega^4}=\omega^2R$

Dado que $\omega=v/R$, $|\vec{a}|=(v/R)^2R=v^2/R$

aquí está como lo hizo newton. Es mas geometrico pero creo que también es mas dificil