1r ciclo Hallar ley horaria.

[mjhelal]

Buenas, estoy teniendo un inconveniente al querer hallar la ley horaria para una particula que se mueve bajo la influencia de la siguiente fuerza conservativa:

$F(x)=-Kx+\frac{a}{{x}^{3 } }$

Cuando planteo la ecuación de movimiento me queda para resolver una ecuación diferencial :

$m \ddot{x}=-Kx+\frac{a}{{x}^{3 } }$

pero no se como resolverla, es decir mi conocimiento de resolución de ecuaciones diferenciales es limitado para ecuaciónes de segundo orden solo incluye el caso de coeficientes constantes.

En realidad el ejercicio pide hallar x(t) para una energía dada E. Pero si yo hallo la energía potencial asociada a esta fuerza y planteo la energía mecánica, me hallo con otra ecuación que no se resolver:

$K\frac{{x}^{2 }}{2 }+\frac{a}{2{x}^{2 } } + m\frac{{\dot{x}}^{2 }}{2 } = E$

Muchas gracias.

[Umbopa]

Re: Hallar ley horaria.

Si , pues bien . Estos ejercicios siempre se hacen por energías.
La ultima ecuación que has puesto es de primer orden ... Si aislas dx/dt=f(x)---> dt=dx/f(x) integras y ya esta...
Si la tienes en forma de la segunda ley de newton , se suelen resolver así :
x''=F(x,x') ---> v=x' ---> x''=d(x')/dt=d(x')/dx dx/dt=dv/dx *v
Sustituyendo en la ecuación anterior queda:
dv/dx *v=F(x,v) que es de primer orden y suele ser mas fácil de resolver.

En el caso de una partícula moviéndose por una fuerza conservativa (unidimensional): F(x,v)=Fuerza gravitatoria=F(x)

dv/dx *v=F(x) ---> integrando ---> v^2/2=integral(F(x)dx)+C ---> v^2/2-integral(F(x)dx)=C
que si te fijas es equivalente a Ec+Ep=constante