2o ciclo Ecuación, trayectorias del espacio fásico

[natanael]

Según Marion, la solución a $\ddot{x}+{\omega_0}^{2}x=0$ está dada por

$x\left( t \right) =A\sin \left( \omega_0t-\delta \right)$

derivando

$\dot{x}\left( t \right) =A\omega_0\cos \left( \omega_0t-\delta \right)$

y para obtener las trayectorias del espacio fásico (gráfica de $\dot{x}$ Vs. $x$) se puede eliminar el parámetro $t$, obteniéndose

$$\frac{x^2}{ A^2}+\frac{\dot{x}^2}{ A^2{\omega_0}^{ 2} } =1$$

pero ellos muestran un procedimiento más "sencillo", dice que la ecuación

$\frac{\dd^2x}{\dd t^2}+ {\omega_0}^{2}x=0$

puede sustituirse por el par de ecuaciones

$$\frac{\dd x}{\dd t} =\dot{x}$$

$$\frac{\dd \dot{x} }{\dd t}=-{\omega_0}^{2}x$$

y que al dividir la segunda por la primera se obtiene

$\frac{\dd \dot{x} }{\dd x}=-{\omega_0}^{2}\frac{x}{\dot{x} }$

una ecuación de primer orden en $\dot{x}=\dot{x}\left( x \right)$ cuya solución es (1)

No entiendo como sacó las dos ecuaciones (2) y (3) a partir de la ecuación de segundo orden.

[juantv]

Re: Ecuación, trayectorias del espacio fásico

Dada la ecuacion del oscilador armonico sin perdidas $\ddot{x}+{\omega_0}^{2}x=0$ , cuya solucion viene dada por
$\dst<br /> x\left( t \right) =A\sin \left( \omega_0t-\delta \right)<br />$

en notacion L la derivada de x se representa por

$\dst \frac{\dd x}{\dd t} =\dot{x}$ (1)

luego , teniendo en cuenta que es x

$\frac{\dd x}{\dd t} = A\omega_0\cos \left( \omega_0t-\delta \right)$

derivamos de nuevo

$\dst \frac{\dd^2x}{\dd t^2}= - A \omega_0 ^2 \sin \left( \omega_0t-\delta \right)$

luego

$\dst \frac{\dd^2x}{\dd t^2} = \frac{d}{dt} (\frac{dx}{dt}) = \frac{d \dot{x}}{dt} = - \omega_0 ^2 A \sin \left( \omega_0t-\delta \right) = - \omega_0 ^2 x$

$\dst \frac{\dd \dot{x} }{\dd t}=-{\omega_0}^{2}x$ (2)

[juantv]

Re: Ecuación, trayectorias del espacio fásico

Podrias explicarme como de esas dos ecuaciones que "no sabias" de donde salian, se puede llegar a la ecuacion (1) de tu post ( :\ no lo veo )

[Al2000]

Re: Ecuación, trayectorias del espacio fásico

...
No entiendo como sacó las dos ecuaciones (2) y (3) a partir de la ecuación de segundo orden.

La ecuación (2) es simplemente la definición de velocidad, derivada de la posición respecto del tiempo. La ecuación (3) la obtienes de la ecuación de segundo orden despejando la aceleración y escribiendo la aceleración como la derivada de la velocidad.

Saludos,

Al

[natanael]

Re: Ecuación, trayectorias del espacio fásico

Gracias, me imagino que ese es el formalismo matemático para el truco

$\frac{\dd \dot{x}}{\dd t } =-{\omega_0}^{2}x$

$1=\frac{\dd x}{\dd x }$

$\frac{\dd \dot{x}}{\dd t }\left( 1 \right) =-{\omega_0}^{2}x$

$\frac{\dd \dot{x}}{\dd t }\left( \frac{\dd x}{\dd x } \right) =-{\omega_0}^{2}x$

$\frac{\dd \dot{x}}{\dd x }\left( \frac{\dd x}{\dd t } \right) =-{\omega_0}^{2}x$

$\frac{\dd x}{\dd t }=\dot{x}$

$\frac{\dd \dot{x}}{\dd x }\left( \dot{x} \right) =-{\omega_0}^{2}x$

$\frac{\dd \dot{x}}{\dd x} =-{\omega_0}^{2}\frac{x}{ \dot{x}}$

Nunca lo había visto como lo pone el Marion, lo que me confundía era el hecho de dividir las ecuaciones, erradamente pensaba que la ecuación original de segundo orden estaba siendo alteranda al ser dividida por la ecuación (2).