Otras carreras Se suelta un objeta pequeño sobre una guía circular...

[Nikola]

Se suelta un objeto pequeño desde A partiendo del reposo y el mismo desliza con rozamiento por el camino circular hacia abajo. Si el coeficiente de rozamiento es $f = 1/5$, determinar la velocidad del objeto al pasar por B.

SUGERENCIA: Hallar la ecuación de movimiento en función de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y resolverla haciendo el cambio de variable [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .



Haciendo Newton y realizando el cambio de variable que sugiere la letra, arribo a lo siguiente:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

La cual es una ec. dif. lineal de primer orden. Planteo la solución general de dicha ecuación pero no la puedo resolver, me queda esto:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Agradezco vuestra ayuda!

[arivasm]

Re: Se suelta un objeta pequeño sobre una guía circular...

Recuerdo que ya resolvimos este ejercicio hace tiempo, pero no lo encuentro...

Bueno. Para resolver la ecuación es mejor escribirla de esta manera: $\dst u' + 2fu = \frac{{2fg}}{R} \left( \cos \theta - f \sin \theta \right)$. Ahora mismo no me sale el nombre del método, pero consiste en expresar la solución como $u=u_h+u_p$, donde $u_h$ es la solución general de la ecuación homogénea $u' + 2 fu = 0$. Y $u_p$ es una solución particular de la original, para la cual puedes ensayar una de la forma $u_p = B \sin \theta + C \cos \theta$. Substituyendo encuentras inmediatamente los valores de $B$ y $C$ (aunque en mis notas veo que me equivoqué una colección de veces, a juzgar por los tachones). Por supuesto, la constante de integración que te queda de la solución homogénea se determina con las condiciones iniciales.

Tengo anotado que la solución es ésta: $\dst u(\theta) = \frac{2g}{R} \frac{1}{1+4f^2} \left[ (1-2f^2) \sin\theta + 3 f \left( \cos \theta - \ee^{-2f\theta}\right) \right]$

[Al2000]

Re: Se suelta un objeta pequeño sobre una guía circular...

Según el Murray Spiegel, $\dst \int \ee^{a x}\, \mathrm {sen} \, bx\, dx = \frac {\ee ^{ax}(a \, \mathrm {sen} \, b x - b \cos b x)}{a^2 + b^2}$ y $\dst \int \ee^{a x}\cos bx\, dx = \frac {\ee ^{ax}(a \cos b x + b \, \mathrm {sen} \, b x)}{a^2 + b^2}$

Saludos,

Al

[Nikola]

Re: Se suelta un objeta pequeño sobre una guía circular...

Hola,

la respuesta dice que es: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Coincide con la solución que paso arivasm.

Pero sigo teniendo un problema, no logro resolver la ec. dif.

A ver esto chicos, intente hallar la solución de la homogénea y me queda esto:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Luego para la solución particular [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , ¿tengo que usar [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ? Pero, ¿de qué forma? ¿A [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] la considero función constante entonces [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ?

Para [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] estoy considerando la que propuso arivasm: $u_P = B \sin \theta + C \cos \theta$

[arivasm]

Re: Se suelta un objeta pequeño sobre una guía circular...

Has olvidado la constante de integración de la solución de la ecuación homogénea: $u_h=A \ee^{-2f\theta}$.

Sobre tu segunda pregunta, ciertamente debes usar la ecuación diferencial completa, subsituyendo en ella $u_p=B \sin\theta+C\cos\theta$ y ${u'}_p=B \cos\theta-C\sin\theta$. Al juntar términos en seno y en coseno verás inmediatamente cuáles son los valores de B y C.