Otras carreras En un tubo que gira se halla una esfera...

[Nikola]

Un tubo de radio R gira alrededor de su centro con una velocidad angular $\omega$ constante, de forma que siempre se mantiene contenido en un plano horizontal. Dentro del tubo está colocada una esfera de radio R (igual radio que el tubo, por lo que llena completamente el interior del mismo) que desliza por él sin rozamiento.

a) Hallar la ley horaria de la esfera si en el instante inicial ésta se encuentra en el centro de rotación y tiene una velocidad inicial $v_0$ a lo largo del tubo.

b) Hallar la fuerza normal.

c) Si el tubo tiene una longitud 2l, ¿cuál será la velocidad de la bola en el instante en que sale del tubo mirado desde un sistema inercial?

d) Se desea evitar que la esfera se escape del tubo, por lo que se agrega un resorte de constante k y longitud natural nula que tiene un extremo unido a la bola y el otro atado al centro del tubo. Hallar las condiciones que deben verificar los parámetros del problema para que la bola no alcance el extremo del tubo.

Amig@s, la duda la tengo con la parte d. Quisiera saber si coincidimos en que la condición es: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Saludos

[arivasm]

Re: En un tubo que gira se halla una esfera...

Yo encuentro un resultado diferente. Debo decir que he usado el formalismo de las ecuaciones de Euler-Lagrange y que no he incluido rotaciones de la esfera alrededor de su cdm (pues el enunciado dice que desliza por el tubo):

$\dst \frac{k}{m}-\omega^2>\frac{v_0^2}{l^2}$

De todos modos, la explicación de esta expresión también podría ser ésta: podemos recurrir a la dinámica newtoniana si usamos un sistema de referencia rotando con el tubo, de manera que tendríamos una fuerza resultante actuando sobre la esfera cuya componente radial será $-k r + m r \omega^2$, que es la suma de la elástica y la centrífuga (la fuerza ficticia que debemos introducir debido al sistema de referencia no inercial usado). Por supuesto, para que no logre escapar debe ser superior el término elástico al centrífugo, con lo que tendremos un movimiento armónico simple, de frecuencia angular $\dst \omega' = \sqrt{\frac{k}{m}-\omega^2}$, cuya amplitud, $v_0/\omega'$, no deberá exceder la longitud del tubo.

[Nikola]

Re: En un tubo que gira se halla una esfera...

arivasm, concluí aquella respuesta [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] por lo siguiente:

consideré que el resorte está sujeto a un extremo de la esfera, no a su centro, y es posible el movimiento dado que la esfera desliza, no rueda, entonces planteando Newton desde un sistema no inercial y observando la componente radial del movimiento, en el estiramiento máximo que puede tener el resorte para que la esfera no se escape del tubo:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

¿Qué me dices?

[arivasm]

Re: En un tubo que gira se halla una esfera...

Tienes razón en que tal como está el enunciado el radio de la esfera debe incluirse en el término elástico. De todos modos, el apartado d) es irreal, toda vez que se supone que inicialmente la esfera está en el origen, de manera que durante algún tiempo el resorte y la esfera se interpenetran.

Sobre lo que comentas, en primer lugar señalaré que la longitud del resorte en el caso de que la esfera llegue al final del tubo será $l-R$ y no $l-2R$, puesto que el contacto entre la esfera y el tubo se perderá cuando su centro esté a una distancia $l$ del origen.

No obstante, mi objeción más grave a tu razonamiento es que estás marcando como condición para el límite del movimiento que sea un punto de fuerza nula y entonces de aceleración nula, en vez de velocidad nula.

El enfoque que he seguido pasa por resolver la ecuación diferencial y encontrar la dependencia $r(t)$. Como dije antes, tendremos un oscilador armónico, con la salvedad de que ahora el punto de equilibrio ya no corresponde a $r=0$. Tampoco corresponde a $r=R$, por culpa de la fuerza centrífuga, sino a un punto en el que ambas son iguales: $mr^*\omega^2=k(r^*-R)$. Entiendo que la condición para que la esfera no abandone el tubo es que la amplitud de la oscilación no exceda el valor $l-r^*$.

No es demasiado complicado conceptualmente, pero sí incómodo, porque el dato de que la velocidad es $v_0$ en el instante $t=0$ obliga a manejar una incómoda fase inicial que, al deshacerse de ella, conduce a una condición final un tanto "peñazo". Si no me equivoqué, y en este caso es muy probable, por lo lioso y también por las numerosas interrupciones que he tenido a lo largo de la tarde cada vez que me he puesto a jugar con este bonito problema, la condición que me sale es ésta

$\dst l^2 \geq \frac{m v_0^2}{m \omega^2 - k} - \left( \frac{k R}{m \omega^2 - k} \right)^2$

[Nikola]

Re: En un tubo que gira se halla una esfera...

No entendí bien. ¿Cuál es esa ecuación diferencial?

Entiendo que mi razonamiento falló porque a pesar de que la fuerza sea nula en el borde del tubo, es decir que la aceleración relativa al sistema no inercial sea nula, no implica que no escape del tubo, por la ley de la inercia, ¿es por esto tu objeción más grave?

[arivasm]

Re: En un tubo que gira se halla una esfera...

¿Cuál es esa ecuación diferencial?

Si me olvido del radio de la esfera (luego se lo pongo), la ecuación diferencial es $m\ddot r= m r \omega^2 - k r$. Si la escribimos como $\ddot r+r\gamma^2=0$ vemos que el tipo de soluciones (si no las expresamos empleando variable compleja) dependen del signo de $\gamma^2$. Si es negativo tendremos exponenciales y la bola siempre escapará del tubo. Si es positivo tenemos un movimiento armónico simple de frecuencia $\gamma$, cuya solución es $r=A\sin(\gamma t+\phi_0)$ donde la amplitud y la fase inicial las determinamos a partir de la posición y velocidad en el instante $t=0$. Para resolver el problema bastaría con imponer la condición $A\leq l$.

Al meter en danza el radio de la esfera la ecuación diferencial es parecida: $m\ddot r= m r \omega^2 - k (r-R)$, que podemos escribir como $\ddot r+r\gamma^2=\frac{k}{m}R$. La solución de esta ecuación podemos expresarla como suma de la solución de la homogénea (que será la misma de antes) y una solución particular, que, evidentemente puede ser $r=\frac{k}{m\gamma^2}R$. Es decir, $r=A\sin(\gamma t+\phi_0)+\frac{k}{m\gamma^2}R$. Como te dije en mi post anterior, de nuevo tenemos un oscilador armónico, pero cuyo punto de equilibrio ya no es el centro del tubo, sino $r^* = \frac{k}{m\gamma^2}R$. La condición de que no salga del tubo es que $A\leq l-r^*$.

Entiendo que mi razonamiento falló porque a pesar de que la fuerza sea nula en el borde del tubo, es decir que la aceleración relativa al sistema no inercial sea nula, no implica que no escape del tubo, por la ley de la inercia, ¿es por esto tu objeción más grave?

Ciertamente. Aunque alcance dicho punto con aceleración nula, si su velocidad no lo es saldrá por el extremo. En definitiva, la condición para no salirse es que la velocidad sea nula y que la aceleración sea restauradora (apunte hacia dentro), claro.