Otras carreras Problema Cinemática de la partícula: Movimiento relativo. Derivada de versores móviles.

[Dark Logan]

Hola.

Este es el ejercicio:

Un niño se encuentra, en t = 0, en el centro de una calesita que gira con velocidad $\omega$ constante. En ese instante, el niño comienza a moverse a lo largo de un radio dibujado en el piso de la calesita con una velocidad constante ${v}_{0 }$ relativa a la misma.
a) Hallar la velocidad y aceleración absolutas del niño trabajando en el sistema móvil, es decir, expresándolas en los versores del sistema móvil.
b) Idem (a) pero expresándolas en los versores del sistema absoluto.

Mis sistemas de versores son, el absoluto los versores $\hat{\imath}$ y $\hat{\jmath}$ en coordenadas cartesianas, y el relativo y móvil serían en coordenadas cilíndricas, con ${\vec{e} }_{r }$ , radial saliente, y ${\vec{e} }_{\varphi }$ , perpendicular al anterior con dirección según $\omega$ . Centrados ambos sistemas en el centro de la calesita.

Entonces, para la parte (a),
${\vec{v} }_{(t) } = {v}_{0 }{\vec{e} }_{r } + \omega {v}_{0 } t {\vec{e} }_{\varphi }$
pero para la aceleración, no entiendo cómo derivar estos versores móviles...

y para la parte (b) creo que bastaría con hallar la expresión de ambos versores en las coordenadas del sistema absoluto. Pero tampoco entiendo cómo hallar esta expresión...

Agradezco si alguien me ayuda.

Saludos.

[arivasm]

Re: Problema Cinemática de la partícula: Movimiento relativo. Derivada de versores móviles.

Llamando $\varphi$ al ángulo que forma el vector $\vec r$ con el eje X, las componentes cartesianas de los versores son $\vec e_r=\cos \varphi \vec i + \sin \varphi \vec j$ y $\vec e_\varphi=-\sin \varphi \vec i + \cos \varphi \vec j$. Por tanto, $\dot {\vec e}_r=\omega \vec e_\varphi$ y $\dot{\vec e}_\varphi=-\omega \vec e_r$. Para la parte b) puedes usar que $\vec r=v_0 t \vec e_r = v_0 t \cos (\omega t) \vec i + v_0 t \sin (\omega t) \vec j$.

Edito: he rectificado un signo menos en la expresión de $\dot {\vec e}_r$ que aparecía erróneamente en el post original.

[clairaut]

Re: Problema Cinemática de la partícula: Movimiento relativo. Derivada de versores móviles.

Un niño se encuentra, en t = 0, en el centro de una calesita que gira con velocidad constante. En ese instante, el niño comienza a moverse a lo largo de un radio dibujado en el piso de la calesita con una velocidad constante relativa a la misma.

En el sistema de referencia que gira solidariamente con la calesita, si llamamos a sus versores radial y transversal ${\hat{e} }_{r' } , {\hat{e} }_{ \theta '}$ la velocidad como dice el enunciado es $\vec{v} = {v}_{ 0} {\hat{e} }_{ r'}$ mientras que la aceleración sera nula.

En el sistema absoluto de referencia la velocidad y aceleración pueden hallarse empleando la formula que pone arivasm derivando respecto al tiempo.

[arivasm]

Re: Problema Cinemática de la partícula: Movimiento relativo. Derivada de versores móviles.

Debo decir que se me coló un signo espúreo en mi post anterior y que he corregido. También añadiré que tiene razón clairaut en lo que dice acerca de la velocidad en el sistema de referencia solidario con la calesita.

[Dark Logan]

Re: Problema Cinemática de la partícula: Movimiento relativo. Derivada de versores móviles.

Gracias a ambos.

Una duda que me surge ahora, en el caso de derivar versores móviles, veo que es más fácil hacerlo cuando se expresan los mismos en la base del sistema absoluto.
Pero hay alguna forma de hacerlo sin recurrir a esto? Por ejemplo, en el ejercicio propuesto, sin recurrir a expresar los versores de la base móvil en la base absoluta con una construcción geométrica entiendo que la derivada de uno de ellos sea colineal con el otro, y también entiendo que a mayor velocidad angular mayor debería ser la derivada ya que mayor sería también la variación que sufre el versor, pero no entiendo por qué el módulo del vector resultante es exactamente igual a la velocidad angular.
Me expuse claramente?

[Dark Logan]

Re: Problema Cinemática de la partícula: Movimiento relativo. Derivada de versores móviles.

Aaaaah, porque precisamente la velocidad angular es la taza de cambio del ángulo de cada versor con los versores de la base absoluta...
me contesté solo no?