1r ciclo De cartesianas a polares usando Funcion Intermedia

[skinner]

Hola buenos días. Me gustaría plantear una pregunta a ver si alguien puede ayudarme. Me encuentro estudiando fluidos, y estoy repasando las "stream functions". En particular mi problema es el siguiente:

Dada la velocidad del fluido (sólo consideramos coordenadas x e y), $v_x$ y $v_y$, definimos una función $\Psi$ intermedia de tal manera que:

$v_x=\dfrac{\partial \Psi}{\partial y}$ y $v_y=-\dfrac{\partial \Psi}{\partial x}$

Ahora mi problema está en transformar esto a coordenadas cilíndricas polares. Según el libro la solución es:

$v_r=\dfrac{\partial \Psi}{r \partial \theta}$ y $v_\theta=-\dfrac{\partial \Psi}{\partial r}$

Seguro que se trata de un sencillo ejercicio de derivación pero no sé cómo hacerlo. ¿Podéis echarme una manita?

Un saludo amigos, espero que les vaya todo bien

[juantv]

Re: De cartesianas a polares usando Funcion Intermedia

$$\dst <br /> \nabla\Psi = \frac{\partial \Psi }{\partial r}\hat{r}<br /> +\frac{1}{r}\frac{\partial \Psi }{\partial \theta}\hat{\theta}+<br /> \frac{\partial \Psi}{\partial z}\hat{z}<br />$$

[juantv]

Re: De cartesianas a polares usando Funcion Intermedia

Atrode porque borraste tu respuesta? , le era de suficiente ayuda a skinner .

[juantv]

Re: De cartesianas a polares usando Funcion Intermedia

Sea $\dst \vec r = \vec r (x,y,z) = x \hat i + y \hat j + z \hat k$

En coordenadas cilíndricas tenemos que la transformación es


$\dst x = r \cos \theta$
$\dst y = r \sin \theta$
$\dst z= z$

Ahora tendremos un $\dst \vec r = \vec r (r,\theta ,z) = r \cos \theta \hat i + r \sin \theta \hat j + z \hat k$

La variación que presenta un campo escalar es también escalar

$\dst d \Psi = \nabla \Psi (\vec r) \cdot d \vec r$

Verifica lo siguiente

$\dst d \vec r = dr \hat r + r d \theta \hat \theta + dz \hat z$

Haz el producto punto $\dst d \Psi = \nabla \Psi (\vec r) \cdot d \vec r$ y comparalo con $d \Psi = \frac{\partial \Psi }{\partial r}dr<br /> +\frac{\partial \Psi }{\partial \theta}d\theta+<br /> \frac{\partial \Psi}{\partial z}dz$

y observas que

$$<br /> \dst <br /> \nabla\Psi = \frac{\partial \Psi }{\partial r}\hat{r}<br /> +\frac{1}{r}\frac{\partial \Psi }{\partial \theta}\hat{\theta}+<br /> \frac{\partial \Psi}{\partial z}\hat{z}$$

[skinner]

Re: De cartesianas a polares usando Funcion Intermedia

Antes de nada gracias por tu respuesta

[...]
Verifica lo siguiente

$\dst d \vec r = dr \hat r + r d \theta \hat \theta + dz \hat z$

[...]

Me perdí en ese paso, no entiendo por qué debe $r d\theta \hat \theta$
¿Una ayudita extra?

Un saludo amigo

[juantv]

Re: De cartesianas a polares usando Funcion Intermedia

$$\dst \vec r = \vec r (r,\theta ,z) = r \cos \theta \hat i + r \sin \theta \hat j + z \hat k$$

$$\dst \hat r = \cos \theta \hat i + \sin \theta \hat j$$

$$\dst \hat \theta = - \sin \theta \hat i + \cos \theta \hat j$$

$$\dst \hat k = \hat z$$

$$\dst d \vec r = \frac{\partial \vec r }{\partial r}dr<br /> +\frac{\partial \vec r }{\partial \theta}d\theta+<br /> \frac{\partial \vec r}{\partial z}dz$$

$$\dst d \vec r = (\cos \theta \hat i + \sin \theta \hat j) dr + r( - \sin \theta \hat i + \cos \theta \hat j) d \theta + \hat k dz = \hat r dr + (r d \theta) \hat \theta + \hat z dz$$

[skinner]

Re: De cartesianas a polares usando Funcion Intermedia

Gracias de nuevo juantv. Llevo media hora dándole vueltas pero ahora estoy atragantado en cómo obtener tu conclusión final:

$\dst <br /> \nabla\Psi = \frac{\partial \Psi }{\partial r}\hat{r}<br /> +\frac{1}{r}\frac{\partial \Psi }{\partial \theta}\hat{\theta}+<br /> \frac{\partial \Psi}{\partial z}\hat{z}$

Un saludo

[juantv]

Re: De cartesianas a polares usando Funcion Intermedia

$$\dst d \vec r = dr \hat r + r d \theta \hat \theta + dz \hat z$$

$$\dst \nabla \Psi (\vec r) = ( \nabla \Psi)_{r} + ( \nabla \Psi)_{\theta} + ( \nabla \Psi)_{z}$$

$$\dst d \Psi = \nabla \Psi (\vec r) \cdot d \vec r = dr ( \nabla \Psi)_{r} + r d \theta ( \nabla \Psi)_{\theta} + dz ( \nabla \Psi)_{z}$$

$$\dst d \Psi = \frac{\partial \Psi }{\partial r}dr<br /> +\frac{\partial \Psi }{\partial \theta}d\theta+<br /> \frac{\partial \Psi}{\partial z}dz$$

$$\dst ( \nabla \Psi)_{r} = \frac{\partial \Psi }{\partial r}$$

$$\dst r ( \nabla \Psi)_{\theta} = \frac{\partial \Psi }{\partial \theta}$$

$$\dst ( \nabla \Psi)_{z} = \frac{\partial \Psi}{\partial z}$$

$$\dst <br /> \nabla\Psi = \frac{\partial \Psi }{\partial r}\hat{r}<br /> +\frac{1}{r}\frac{\partial \Psi }{\partial \theta}\hat{\theta}+<br /> \frac{\partial \Psi}{\partial z}\hat{z}$$

[skinner]

Re: De cartesianas a polares usando Funcion Intermedia

Tu ayuda fue genial, muchas gracias juantv.

Un saludo