Otras carreras Energia de la Tierra a la Luna

[LauraLopez]

Holaaa chicos, aca tengo una pregunta de un practico de fisica que me dice lo siguiente:

¿Cuánta energía se requiere para elevar un kilogramo de carga desde la Tierra hasta la Luna?

Saben como se hace? Me confunde que al llevar el cuerpo desde la Tierra a la Luna el mismo se va a ver atraido tanto por la Tierra como por la Luna... eso como lo hago?
Tendria que calcular el trabajo? y eso seria la energia necesaria no?
Si alguien me puede aclarar mas como seria...
Gracias
besos

[guibix]

Re: Energia de la Tierra a la Luna

Hola de nuevo LauraLopez,

Lo normal de un ejercicio como este, con lo de "elevar" un kg hasta tal órbita, es no tener en cuenta a la Luna. Pero por la naturaleza de los ejercicios que ya has puesto, imagino que sí tienes que tener en cuenta la gravedad lunar.

De ser así, primero hay que "dibujar" la línea que pasa por los dos centros de masa y encontrar la función del potencial a lo largo de esta línea, que no es más que la suma directa de las dos funciones de potencial de cada astro a lo largo de la misma línea.

Si derivas esta función en función del radio, tienes la aceleración a lo largo de la línea y si la igualas a cero, encontrarás el punto de máximo potencial, que es lo que hay que "superar". La diferencia de energía potencial, entre la superficie de la Tierra y el punto de máximo potencial es el trabajo requerido para llegar a la Luna, ya que a partir de este punto la gravedad de Luna hará el resto de trabajo.

Saludos.

[arivasm]

Re: Energia de la Tierra a la Luna

Este tipo de problemas en el fondo no es muy diferente de preguntarse cuánta energía hace falta para llevar un objeto desde un lado de una montaña a otro, situado al otro lado de la montaña y que se encuentra a diferente altura del primero.

El teorema de la energía cinética nos permite asegurar que si el objeto parte del reposo y termina en reposo, entonces el trabajo total que se realiza sobre él es nulo, lo que significa que el trabajo que hay que hacer por fuerzas externas a la gravedad es justamente el opuesto del que realiza el peso. En definitiva, el trabajo neto que hay que hacer será la resta entre la energía potencial al final y la inicial.

En el caso de la Tierra y la Luna, la diferencia estaría en que, como muy bien señala guibix, sería la suma de las energías potenciales debidas a los dos pesos que intervienen.

Sin embargo, el cálculo anterior es engañoso. Porque, y también aquí guibix lo indica correctamente, el trabajo que realizan dichas fuerzas externas tiene dos partes, una primera positiva (la fuerza debe tener componentes en el sentido de avance), hasta la cumbre, seguida de una negativa (la fuerza debe tener componentes en sentido contrario). El resultado que comenté antes será la suma de ambas. Por supuesto, si sólo nos limitamos a realizar la primera parte, el objeto llegará a su destino, pero lo hará con velocidad.

¿Por qué todo este rollo? Porque a menudo los enunciados acerca de estos ejercicios son muy confusos. Exactamente, ¿qué se nos pide que calculemos?, ¿trabajo neto o consumo de energía?. No son lo mismo. El primero será lo que señalé: $Ep_{fin}-Ep_{in}$. Pero el segundo no.

Imaginemos que usamos un cohete: consume combustible tanto en la etapa que nos lleva hasta la "cumbre" como en la que de frenado en el descenso. En el primer caso, el consumo energético (si me olvido de que el cohete no sólo porta el objeto sino que también se eleva a sí mismo y el combustible restante en cada caso, y eso suele ser ¡olvidar demasiado!) será, si llegamos a la "cumbre" con velocidad nula, $(Ep_{cumbre}-Ep_{in})+(Ep_{cumbre}-Ep_{fin})$, claramente diferente del anterior.

En resumen, aunque este tipo de ejercicios nos gusta mucho a los profesores, no dejan de ser un tanto estériles para el cálculo práctico, salvo por la parte de entrenamiento a la que obligamos a los alumnos. En el fondo es tan tonto como si le pregunto a alguien "¿cuánta energía gastas desde que sales de la cama por la mañana hasta que regresas a ella por la noche?". Si espero que me diga que 0 porque parte del reposo desde el mismo lugar y regresa a él también en reposo, es que estoy de coña.

[LauraLopez]

Re: Energia de la Tierra a la Luna

Perdon chicos pero no logro entender bien....me confundo en definitiva sigo sin entender que pide el ejercicio.....

Segun lo que me explican la fuerza total seria:

F = F1 - F2 = G m [ M1/r² - M2/(D-r)² ]

Siendo: M1 = masa de la Tierra y M2 masa de la luna
Siendo: D = distancia entre centros Tierra-luna

Y ahora planteo que el trabajo es igual a la energia e igual a la integral de F esta bien eso?

w=E=\int F dr

Eso esta bien? o como seria en definitiva la cuenta que me pide el ejercicio que calcule?

[arivasm]

Re: Energia de la Tierra a la Luna

No. Usa la energía potencial: $\dst -G \frac{M_T m}{r_t}-G \frac{M_L m}{r_L}$, donde el subíndice T se refiere a la Tierra y el L a la Luna.

[LauraLopez]

Re: Energia de la Tierra a la Luna

Hola de nuevo perdon que retome este hilo ....pero en su momemento me quedaban dudas y como no sabia tanto del tema lo preferi dejar ahora en realidad sigo sin saber mucho jaja pero creo estar un poco mas capacitada para entenderlo mejor....

me podrian explicar como resolverlo? leyendo lo que me dicen yo entendi esto:

Lo que me pide es la energia para elever 1 kg de la Tierra a la Luna

entonces esto implica un trabajo y el mismo en conservativo asi que puedo decir que

${W}_{fc} = - \Delta U$

$\Delta U = {U}_{Luna } - {U}_{Tierra } = -\frac{G{M}_{L } m}{{R}_{L } } + \frac{G{M}_{T } m}{{R}_{T } }$

Entonces

$W = \frac{G{M}_{L } m}{{R}_{L } } - \frac{G{M}_{T } m}{{R}_{T } }$

aca reemplazando los valores correspondientes llegaria a un valor de energia eso es lo que me piden no? ah y esa constante G es la misma ya sea la Tierra la Luna o cual sea el planeta no? es universal tengo entendido

[arivasm]

Re: Energia de la Tierra a la Luna

En primer lugar, la fórmula que escribes al final es para el trabajo realizado por la fuerza de gravitación. El enunciado podría entenderse como que hay que calcular el opuesto de ese valor.

Por otra parte, como te comenté anteriormente, el cálculo que indicas (con los matices que te comento más adelante) representa el trabajo neto que hay que realizar por las fuerzas no gravitatorias para llevar una masa de la superficie de la Tierra a la de la Luna, tomándola desde el reposo y dejándola en reposo. No necesariamente representará la energía que se consumirá, pues ésta depende de cómo se lleve a cabo el proceso, es decir, qué trayectoria se siga.

El matiz es que, siendo rigurosos, la energía potencial debería incluir dos sumandos, tanto para la situación inicial como para la final: el debido a la fuerza que ejerce la Tierra y el debido a la Luna, de manera que sería $W = -\frac{G{M}_{L } m}{{R}_{L } }-\frac{G{M}_{T } m}{r_{TL}-{R}_{L } } +\frac{G{M}_{L } m}{r_{TL}-{R}_{T } }+ \frac{G{M}_{T } m}{{R}_{T } }$, donde $r_{TL}$ es la distancia entre los centros de la Tierra y la Luna.

[LauraLopez]

Re: Energia de la Tierra a la Luna

No entiendo como te das cuenta que hay que calcular el opuesto a ese valor.. el enunciado pide la energis para ir desde la tierra a la Luna, entiendo que para ir de la tierra a la luna se requiere de un trabajo este trabajo es justamente la energia gastada para lograr esto... o no?

Y despues no veo porque la energia tiene 2 componentes...si una vez que llegue a la luna la unica fuerza actuante sera la de la luna y lo mismo para un objeto en la tierra su energia potencial es la de la Tierra...

[arivasm]

Re: Energia de la Tierra a la Luna

Recurramos al teorema del trabajo-energía: el trabajo total es igual a lo que cambia la energía cinética, es decir, 0 (el sistema parte del reposo y termina en reposo). Así pues, si separas las fuerzas gravitatorias de las demás tenemos que $W_{grav}+W_{nec}=0$. Por otra parte, $W_{grav}=-\Delta U=U_{Tierra}-U_{Luna}$. De ahí que $W_{nec}=\Delta U=U_{Luna}-U_{Tierra}$.

Ahora vamos con la cuestión de la energía potencial: nuestro objeto está sometido a *dos* fuerzas gravitacionales, una debida a la atracción terrestre y la otra debida a la lunar. Por ello la energía potencial tiene dos sumandos: $\dst U=-G\frac{M_T m}{r_T}-G\frac{M_L m}{r_L}$. En cualquier cálculo que hagamos deberemos poner en cada denominador la distancia que corresponda hasta el centro del astro cuya masa aparezca en el numerador. Por ejemplo: cuando el objeto esté en la superficie de la Tierra será $\dst U_{Tierra}=-G\frac{M_T m}{R_T}-G\frac{M_L m}{r_{TL}-R_T}$. Por supuesto, el primer sumando se va a "merendar" al segundo, pero eso no significa que, si somos rigurosos, no debamos incluirlo.

Esto último es muy importante si nos liamos a calcular la energía que se consume. Pero casi prefiero no meterme con ello, al menos mientras tú no lo quieras (ya lo hemos comentado anteriormente).

[LauraLopez]

Re: Energia de la Tierra a la Luna

no entiendo esto porque por ejemplo en los demas ejercicios que reslolvia de por ejemplo un satelite en una orbita a cierta distancia de la Tierra cuando calculaba si energia potencial no tenia en cuenta que este a su vez esta atraido por cierta distancia a la Luna....o sea cuando esta en la Tierra tiene una energia potencial asociada a la Tierra y lo mismo para la Luna....porque ahora aparecen 2 terminos? y ademas la distancia entre la Tierra y la Luna va cambiando a medida que me acerco mas a la Luna como llego a una solucion en conctreta? porque me pide la energia y me da la masa supongo que podre llegar a una solucion numerica no?

[arivasm]

Re: Energia de la Tierra a la Luna

Estoy seguro de que los ejercicios de satélites a los que te refieres omitían la influencia de la Luna simplemente por hacerlos más fáciles. En la realidad claro que ejerce influencia (y no sólo a los satélites, ahí tenemos los océanos y sus mareas!).

De todos modos, mi intención al respecto era que tuvieses claro la existencia de esos dos términos, aunque en la superficie de la Tierra el término lunar será despreciable frente al terrestre y en la Luna será justo al revés (te recomiendo que hagas los números para verlo), con lo que puedes omitir el pequeño (pero siendo consciente de ello y de los motivos).

Donde es imprescindible tener en cuenta que son dos términos es si el cálculo requiriese de tomar en consideranción puntos intermedios de la trayectoria. Pero, repito, no quiero meterme en ello salvo que tú lo necesites. Para que me entiendas, guibix señaló una posible interpretación del ejercicio (se trata de calcular la energía mínima que hace falta para llevar la masa hasta la Luna, pero dejando que se estrelle contra ella). En mi primer post de este hilo señalé otras dos, relacionadas con dejar la masa en reposo en la superficie: calcular el trabajo neto (que es la interpretación del enunciado que has elegido) o la energía que se consumirá.

De esas posibles interpretaciones, la que indicó guibix y la segunda que acabo de citar, requieren hacer cálculos con las dos contribuciones a la energía potencial, y sin poder despreciar ninguna.

[LauraLopez]

Re: Energia de la Tierra a la Luna

ahhh ahora entiendo un poco mas...bueno no estoy segura de que interpretacion quiero tomar porque nose a cual de todas apunta el ejercicio suponogo que la mas correcta para lo que yo vengo haciendo seria suponer que parto del reposo y lo dejo en reposo en la Luna...

igualmente entonces yo tendria:

$\dst U_{Tierra}=-G\frac{M_T m}{R_T}-G\frac{M_L m}{r_{TL}-R_T}<br />$

$\dst U_{Luna}=-G\frac{M_L m}{R_L}-G\frac{M_T m}{r_{TL}-R_L}<br />$

Lo que me pide el ejercicio es calcular $\Delta U$

$\Delta U = -G\frac{M_L m}{R_L}-G\frac{M_T m}{r_{TL}-R_L} +G\frac{M_T m}{R_T}+G\frac{M_L m}{r_{TL}-R_T}$

Esa seria la respuesta del ejercicio? donde supongo que en internet puedo encontrar la distancia que hay entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna....

[arivasm]

Re: Energia de la Tierra a la Luna

Es una de las posibles respuestas (por la ambigüedad del enunciado al respecto). La distancia $r_{TL}$ es 384400 km (wikipedia). De todos modos, verás que los términos con el "denominador largo" son despreciables frente a los otros.

[LauraLopez]

Re: Energia de la Tierra a la Luna

Ahora que entendi en el mismo ejercicio luego sigue una segunda pregunta que es ¿Que rapidez debe tener una nave espacial al salir de la atmosfera para poder escapar de la Tierra?

Para esto no tengo que tener en cuenta la energia potencial de la Luna no?

Tendria que la velocidad inicial es la velocidad de escape asi que

${E}_{M0 } = \frac{1}{2 }m{{v}_{e } }^{ 2} -\frac{GMm}{ {R}_{T } }$

y ahora que mas puedo hacer??

[arivasm]

Re: Energia de la Tierra a la Luna

Con la contribución de la Luna a la energía potencial te sucederá lo mismo de antes: aunque sí está, será despreciable.

Respecto de la pregunta, está claro que el autor es un maestro de la ambigüedad, pues ¿a qué se refiere?: ¿es una continuación del apartado anterior y entonces el "escapar de la Tierra" debe entenderse como que se trata de "escapar de la Tierra para llegar a la Luna" o es una pregunta diferente y se trata de "escapar de la Tierra y alcanzar el infinito"? En el segundo caso, ciertamente consistiría en calcular la velocidad de escape, como dices, pero teniendo en cuenta que $E_{M0}=0$.

Pero si es el primero entonces no nos queda más remedio que tomar en consideración la ruta que nos lleve hasta la Luna. La de menor energía es la que pasa por el punto que señaló guibix (es uno de los llamado puntos de Lagrange), perteneciente a la recta de unión de los centros de la Tierra y la Luna, calcular la energía mecánica teniendo en cuenta que el mínimo corresponderá con que en ese punto la velocidad sea nula, después aplicar la conservación a la energía entre la casi superficie de la Tierra y el punto de Lagrange.