Otras carreras orbita parabolica

[LauraLopez]

Este se me complico....

La distancia esa que figura desde el centro de la Tierra hasta la orbita de la luna que no se ve muy bien el numero es 239000 millas.

Se lanza un vehiculo espacil paralelamente a la superficie de la Tierra, desde el punto A a una altura de 340 millas. Sabiendo que su trayectoria es parabolica, calcular:

a) La velocidad de lanzamiento V0 del vehiculo

b) La velocidad del vehiculo en B (modulo y direccion de$\phi$)

Considerar que el radio de la Tierra es de 3960 millas. Siendo 1 milla = 1,6 km , y que la aceleracion en la superficie de la tierra es 9,80 .

El inciso (a) me salio planteando que la Em = 0
y me dio Va= 38499 km/h

El inciso b si que no se como se hace......

[arivasm]

Re: orbita parabolica

En b el módulo de la velocidad lo calculas exactamente igual que en a.

El problema está en la dirección. Quizá alguien conozca alguna manera más directa para calcularla, pero ésta es la que se me ocurre.

Como hace falta la orientación del vector $\vec r$ se puede recurrir a la ecuación polar de la parábola. Si llamamos $r_0$ a la distancia que corresponde al periastro (es decir la distancia entre A y el centro de la Tierra) y $\alpha$ al ángulo que forma el vector de posición (trazado desde el centro de la Tierra) con un eje vertical, la ecuación de la parábola cumple que

$$\dst r=\frac{2 r_0}{1-\sin\alpha}$$

Quisiera aclarar que esta ecuación se deduce de la definición de parábola: lugar geométrico de los puntos que equidistan del foco (el centro de la Tierra, distancia = $r$) y una recta (en este caso vertical, a una distancia $2 r_0$ del centro de la Tierra); es fácil ver que usando el ángulo anterior se cumple que $r=2 r_0+r\sin\alpha$
Como el ángulo $\theta$ que aparece en el dibujo es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , de (1) tenemos que, si debemos calcular dicho ángulo, podremos usar

$$\dst \cos\theta=1-2\frac{r_0}{r}$$

Una vez que tenemos este ángulo (o el $\alpha$), nuestro problema pasa a ser encontrar el ángulo $\beta$ que forma la velocidad (y entonces la tangentea a la parábola) con alguna dirección más cómoda que la del vector $\vec r$, como por ejemplo la vertical del dibujo (es decir, la velocidad en el periastro).

Por fijar ideas, llamaré eje X a uno vertical, dirigido hacia arriba e Y a uno horizontal hacia la izquierda. Si colocamos el origen de coordenadas en el centro de la Tierra, sabemos que la ecuación de la parábola será de la forma $y=ax^2-r_0$ (no confundir esta $a$ con la aceleración). Si substituimos $x=r\cos\theta$ e $y=r\sin\theta$ y tenemos en cuenta la ecuación (1), encontramos que $a=1/(4r_0)$, con lo que la ecuación de la parábola es

$\dst y=\frac{x^2}{4 r_0}-r_0$.

Derivando, tenemos que la pendiente de la tangente es

$$\dst \tan\beta=y'=\frac{x}{2 r_0}=\frac{r}{2r_0}\cos\alpha$$

Con esta expresión y (1) es suficiente para determinar el ángulo que piden, pues es $\varphi=\beta-\alpha$.

Edito: en una entrada posterior recojo una expresión para este ángulo.

[LauraLopez]

Re: orbita parabolica

No se como calcular el modulo de la forma analoga a el inciso a porque en este caso no tengo cuanto vale Rb, que seria la distancia entre el centro de la Tierra y el punto B....

Despues con respecto a hallar la direccion gracias por la ayuda! costo un poco pero te segui ahora voy a probar reemplazando los valores haber si da el resultado que trae la solucion

[arivasm]

Re: orbita parabolica

no tengo cuanto vale Rb, que seria la distancia entre el centro de la Tierra y el punto B....

Es el radio de la órbita de la Luna

[LauraLopez]

Re: orbita parabolica

Tenes razon que boba de distraida no me daba cuenta, mil gracias!

[LauraLopez]

Re: orbita parabolica

Perdon que sea tan molesta pero esto de los angulos me re cuesta....
cuando llegas a esta expresion

$\dst \cos\theta=1-2\frac{r_0}{r}$

No se como calcular el angulo... r0 seria igual a la distancia del centro de la Tierra a el punto A o sea r0 = 4300 millas
pero r que distancia seria entonces?

[arivasm]

Re: orbita parabolica

He encontrado una expresión mucho más elegante para el cálculo del ángulo $\varphi$.

Retomemos por una parte la ecuación polar de la parábola

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y por otra la de la pendiente de la tangente a la parábola

$$\dst\tan\beta=\frac{r \cos\alpha}{2 r_0}$$

De esta última encontramos que

$$\dst\sin\beta=\frac{r \cos\alpha}{\sqrt{4r_0^2+r^2\cos^2\alpha}}$$

$$\dst\cos\beta=\frac{2 r_0}{\sqrt{4r_0^2+r^2\cos^2\alpha}}$$

Los denominadores se pueden escribir de una manera más sencilla, pues de (1) resulta que

$4r_0^2+r^2\cos^2\alpha=4r_0^2+r^2-r^2\sin^2\alpha=4r_0^2+r^2-(r-2r_0)^2=4 r r_0$

De esta manera, (4) y (5) pueden escribirse

$$\dst\sin\beta=\frac{r \cos\alpha}{2\sqrt{r r_0}}$$

$$\dst\cos\beta=\frac{r_0}{\sqrt{r r_0}}$$

Como tenemos el coseno de $\alpha$ en el seno de $\beta$ calcularemos el seno de $\varphi=\beta-\alpha$:

$\dst\sin\varphi=\frac{r \cos^2\alpha}{2\sqrt{r r_0}}-\frac{r_0\sin\alpha}{\sqrt{r r_0}}$

que nos conviene escribir como

$\dst\sin\varphi=\frac{r^2 \cos^2\alpha-2 r_0 r\sin\alpha}{2r\sqrt{r r_0}}=\frac{r^2-r^2 \sin^2\alpha-2 r_0 r\sin\alpha}{2r\sqrt{r r_0}}$

Substituyendo (1)

$\dst\sin\varphi=\frac{r^2-(r-2r_0)^2-2 r_0( r-2r_0)}{2r\sqrt{r r_0}}=\frac{2rr_0}{2r\sqrt{r r_0}}$

con lo que finalmente tenemos

$\dst\sin\varphi=\sqrt{\frac{r_0}{r}}$

[arivasm]

Re: orbita parabolica

cuando llegas a esta expresion

$\dst \cos\theta=1-2\frac{r_0}{r}$

No se como calcular el angulo... r0 seria igual a la distancia del centro de la Tierra a el punto A o sea r0 = 4300 millas
pero r que distancia seria entonces?

r es la distancia para la que haces el cálculo (la distancia Tierra-Luna).

[LauraLopez]

Re: orbita parabolica

excelente tu respuesta muchisimas gracias!

[arivasm]

Re: orbita parabolica

Me ha gustado mucho este problema. Bonito, sí señor!