1r ciclo Centro de masa de una semicircunferencia.

[Alberto Feynman]

Espero puedan ayudarme un poco con este problema, recién comencé a ver este tema y aun no lo manejo bien y la verdad no se como empezar, espero puedan ayudarme.

Hallar el centro de masa de una placa semicircular homogénea, siendo R el radio del círculo.

Gracias!

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Re: Centro de masa de una semicircunferencia.

Hola Alberto,

Bueno, tienes dos formas de hacer este ejercicio. Con ello me refiero, a que la integración la puedes hacer en coordenadas cartesianas o polares. Así pues, siempre que puedas, respeta la simetría del problema, de modo que en este caso, lo más sencillo es hacer la integración en coordenadas polares en el plano. Lo más recomendable es que hicieses un dibujo, para ver por razones de simetría que el CM de la placa se encuentra en el eje $y$.

Por si te interesa, el cálculo en cartesianas se haría teniendo en cuenta que la función es:

$$f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$$

Y aplicando la definición de CM (para la coordenada indicada):

$$y_{CM}=\dst\frac{1}{S}\dst\int_{-R}^{R} \dst\frac{1}{2}[f(x)]^2\mathrm{d}x=\dst\frac{1}{\pi R^2/2} \dst\frac{1}{2}\dst\int_{-R}^{R} (\sqrt{R^2-x^2})^2\mathrm{d}x$$

Que puedes expresar como:

$$y_{CM}=\dst\frac{2}{\pi R^2}\dst\int_0^R (R^2-x^2)\mathrm{d}x=\dst\frac{2}{\pi R^2}\dst\frac{2R^3}{3}\Rightarrow \boxed{y_{CM}=\dst\frac{4R}{3\pi}}$$

Luego el CM estaría situado sobre el eje Y, en el punto: $(0,4R/3\pi )$.

Te animo a que intentes la integración en polares, ¡verás que te quitas gran parte de trabajo! Evidentemente, llegarás a mi resultado si no he metido la pata.

Saludos,