Otras carreras interaccion elastica

[LauraLopez]

Hola chicos este ejercicio me esta matando....parece facil pero me resulta re dificil y no llego a las soluciones espero alguno me pueda ayudar

Las soluciones son esas que dicen problema 16

La figura muestra un cuerpo de masa m apoyado sobre una mesa horizontal libre de rozamiento y sometida a la interaccion con una banda elastica de constante k y longitud propia H, la que tiene el otro extremo sujeto al puinto O fijo en la mesa. Suponiendo que damos al cuerpo una velocidad V0 como la indicada en la figura.

a) Obtener expresiones para las componentes radial y transversal del vector velocidad de la particula en funcion de su distancia al punto O.

b) Suponiendo nula la componente radial del vector velocidad en ese instante inical, obtener una expresion que permita determinar la maxima deformacion de la banda elastica

[arivasm]

Re: interaccion elastica

Para a) puedes usar la conservación del momento angular (pues la única fuerza que actúa sobre la partícula es central) con respecto de O y la conservación de la energía mecánica (porque esa fuerza es también conservativa). Es decir, usar que $L=mrv_\theta=mH v_{0,\theta}$ y que $E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}k(r-H)^2=\frac{1}{2}mv_0^2$.

Para b) puedes partir del mismo enfoque aplicado a este caso en el que $\vec v_0$ es tal que $v_{0,r}=0$ y $v_{0,\theta}=v_0$. Por una parte tienes que, de la conservación del momento angular, $mrv_\theta=mHv_0$, luego

$$\dst v_\theta=\frac{Hv_0}{r}$$

Por otra, de la conservación de la energía para este segundo caso, $E=\frac{1}{2}m(v_r^2+v_\theta^2)+\frac{1}{2}k(r-H)^2=\frac{1}{2}mv_0^2$, es decir, $\dst v_r^2+v_\theta^2+\frac{k}{m}(r-H)^2=v_0^2$. En la situación de máxima deformación usa que $v_r=0$ y combina con (1). Asimismo, ten en cuenta que la deformación es $x=r-H$

[LauraLopez]

Re: interaccion elastica

Gracias!! el iniciso a) ya me salio ahora estoy luchando con el inciso b que no logro llegar al resultado de la solucion

$\dst v_r^2+v_\theta^2+\frac{k}{m}(r-H)^2=v_0^2$

Como ${v}_{r }=0$ tenemos:


$\dst v_\theta^2+\frac{k}{m}(r-H)^2=v_0^2$

reemplazando $\dst v_\theta=\frac{Hv_0}{r}$

quedaria:

${{v}_{0 } }^{2 } = \frac{{H}^{2 }{{v}_{0 } }^{2 } }{ {r}^{2 } } } + \frac{k}{m}(r-H)^2$

De aca nose como seguir para llegar al resultado....

[arivasm]

Re: interaccion elastica

Como te dije antes, en el apartado b) por una parte tienes que

$$\dst v_\theta=\frac{Hv_0}{r}$$

y por otra que

$$\dst v_r^2+v_\theta^2+\frac{k}{m}(r-H)^2=v_0^2$$

Para encontrar la máxima deformación hagamos $v_r=0$ (pues corresponderá a un punto de retroceso), de manera que (2) queda

$\dst v_\theta^2+\frac{k}{m}(r-H)^2=v_0^2$

Si substituimos (1)

$\dst \left( \frac{Hv_0}{r}\right)^2+\frac{k}{m}(r-H)^2=v_0^2$

Multipliquemos todo por $r^2$:

$\dst (H v_0)^2+\frac{k}{m}r^2(r-H)^2=r^2 v_0^2$

Si escribimos $r$ en función de la deformación buscada, $x=r-H$

$\dst (H v_0)^2+\frac{k}{m}(x+H)^2 x^2=(x+H)^2 v_0^2$

Desarrollando los cuadrados tenemos que

$$\dst \frac{k}{m}(x^4+2x^3 H+ H^2 x^2)=x^2 v_0^2+2 x H v_0^2$$

Agrupando potencias en $x$ y multiplicando por $m/k$

$\dst x^4+2Hx^3+ \left(H^2 - \frac{m}{k}v_0^2 \right) x^2 - 2 x \frac{m}{k} H v_0^2 = 0$

Si comparamos con la solución que te dan vemos que falta el término independiente. Sin embargo, la explicación es muy sencilla. ¿Qué es $\alpha$? Lo tenemos en el apartado a): es el ángulo que forma la velocidad inicial con la dirección tangencial. Pero en el apartado b) se dice que ese ángulo es 0, pues señalan que la velocidad inicial carece de componente radial. Como consecuencia, el término $1-\cos\alpha$ es cero en las condiciones del enunciado.

De todos modos, si quieres llegar a la solución general que te dan en el solucionario, que correspondería a una orientación arbitraria de la velocidad inicial, en vez de (1) deberíamos escribir

$$\dst v_\theta=\frac{Hv_0\cos\alpha}{r}$$

y repetir exactamente el mismo desarrollo de antes. La diferencia estaría en que en el paso (3) no se nos iría $(Hv_0)^2$, pues en el lado izquierdo ahora sería $(Hv_0\cos\alpha)^2$. El resto es pura mecánica.

[LauraLopez]

Re: interaccion elastica

muchisimas graciasssssssssssss :P