Otras carreras sismografo

[LauraLopez]

Como me cuestan estos ejercicios de amortiguamiento critico...alguna ayuda de como hacer este?

[arivasm]

Re: sismografo

Entiendo que el ejercicio está relacionado con los problemas de oscilador forzado. Usando las notaciones de esta referencia, la amplitud del oscilador de frecuencia natural $\omega_0=\sqrt{k/m}$ sometido a una fuerza $F_0\cos\omega t$ y coeficiente de amortiguamiento $b$ es

$\dst A=\frac{F_0}{\sqrt{m^2(\omega_0^2-\omega^2)^2+b^2\omega^2}}$

En nuestro caso se entiende que $b=0$, de manera que

$$\dst A=\frac{F_0}{m|\omega_0^2-\omega^2|}$$

Para reconocer quién es $F_0$, pensemos que la base oscila según $y_b=A_b \cos\omega t$. Si la masa superior está en la posición $y$ y la longitud natural del resorte es $l_0$, la longitud actual del resorte será $y-y_b$ y la fuerza de Hooke sobre la masa será $k(y-y_b-l_0)$. Por tanto, si llamamos $x$ a la elongación del resorte, es decir, $x=y-l_0$, la 2ª ley de Newton nos lleva a que

$m\ddot x = - k (x - y_b) = - k x + k A_b \cos\omega t$

Por tanto, la amplitud de la fuerza perturbadora es $F_0=k A_b$, y entonces (1) es

$$\dst A=A_b \frac{k}{m|\omega_0^2-\omega^2|}=A_b \frac{\omega_0^2}{|\omega_0^2-\omega^2|}$$

Por tanto, para resolver el ejercicio puedes aplicar esta expresión, teniendo en cuenta que debe cumplirse que $A\leq 0,015\,{\rm cm}$.

[arivasm]

Re: sismografo

En mi mensaje anterior he olvidado comentar el hecho de que el ejercicio habla de cuatro resortes de la misma constante. La $k$ que he puesto no es la de uno de ellos, sino la equivalente. Recuerda que si tenemos resortes en paralelo, como en este caso, la constante equivalente es la suma de las constantes. Por tanto, debes usar $k=4\cdot 65,5\,{\rm N/cm}$.

Aprovecho también para comentar que la justificación que hice de que $F_0=k A_b$ no tiene en cuenta el peso de la masa superior oscilante. Sin embargo, al igual que sucede con cualquier sistema masa resorte que oscile verticalmente en presencia de gravedad, eso no cambia nada el resultado, pues al tomar el peso en consideración tendremos que $m\ddot y=-k(y-y_b-l_0)-mg$ y entonces la elongación corresponderá a $x=y-l_0+mg/k$ y la ecuación correspondiente será la misma de antes, $m\ddot x = - k (x - y_b) = - k x + k A_b \cos\omega t$, de manera que las conclusiones son exactamente las mismas.

[LauraLopez]

Re: sismografo

Gracias por la respuesta...mas alla del ejercicio tengo algunas dudas por empezar no sabia eso de las oscilaciones forzadas..o sea que tenemos 2 tipos de amortiguamientos? Puede ser el caso de un amortiguamiento forzado o el caso de uno no forzado??

Una duda que me aparece es como te das cuenta de que este ejercicio se trata de uno forzado....ya que el enunciado no menciona a una F.

Luego el termino b decis que en este caso es igual a cero porque el enunciado no hace referencia a un medio viscoso por ejemplo? o no dice que la amplitud se reduce no? en los ejercicios que menciona que la amplitud va disminuyendo seria porque entra en juego el coeficiente b no?

Este ejercicio seria un amortiguamiento forzado no amortiguado?
una vez entendido mas esto intentare entender tu explicacion

[arivasm]

Re: sismografo

Sí, yo lo entiendo como un ejercicio de oscilador armónico forzado no amortiguado. Tienes razón en lo que dices de que $b=0$ por carencia de un medio viscoso o cualquier otra forma de fricción semejante.

¿Cómo me doy cuenta del tipo de ejercicio? En este caso, me gustó cuando lo vi, pero tardé un par de días en cogerle por dónde meterle el diente. Te contaré que siempre llevo conmigo, en el bolsillo, papeles en blanco para poder jugar con la Física mientras voy en autobús o cosas así (a veces también escribo paseando, lo que -imagino- no me dará apariencia de muy cuerdo) y este ejercicio me acompañó (y me hizo disfrutar) de un par de paseos. Caí en la cuenta del oscilador forzado al pensar en que la oscilación de la masa inferior implica un término añadido a la fuerza que ejerce el resorte sobre la masa superior, debido a las variaciones que causa en la longitud del resorte.

Por último, sobre los tipos que mencionas al principio de tu mensaje, yo lo diría de esta otra manera: los osciladores armónicos pueden ser libres o forzados, según que haya o no una fuente externa de excitación. Cualquiera de estos dos tipos a su vez, pueden ser amortiguados o no amortiguados, según que intervengan o no fuerzas disipativas. Dentro de los amortiguados tenemos diferentes casuísticas dependiendo de la relación entre el término de amortiguación y los propios del oscilador, como ya hemos visto en otro hilo (me refiero a lo de sobreamortiguado, crítico, con amortiguamiento débil etc). Veo que en la wikipedia en español hay una página al respecto que te podría venir bien para repasar todo esto.

[LauraLopez]

Re: sismografo

Gracias ahora si ya entendo mas los diferentes tipos de casos que se pueden presentar y queda claro en cual estamos....

En el ejercicio en particular...me cuesta seguir tu analisis

Tenemos que la base produce una vibracion vertical dada por:

$y_b=A_b \cos\omega t$

Aca no entiendo como sacas las siguientes conclusiones..

NO veo como llegas a esto: $k(y-y_b-l_0)$

O sea inicialmente el resorte esta comprimido por el peso del sismografo y al ponerse a vibrar la base ya me confunde como es su comportamiento para poder determinar la deformacion del resorte

[arivasm]

Re: sismografo

Sí, quizá debiera detallarlo algo más. He llamado $y$ a una coordenada tomada positiva hacia arriba, sin importarnos demasiado donde tenga el cero (pues es irrelevante). La longitud del resorte será $y-y_b$, es decir, la posición del extremo unido a la masa superior menos la del que está unido a la base. La deformación del resorte es esa misma cantidad menos su longitud natural. De ahí el valor de la fuerza elástica, $k(y-y_b-l_0)$.

Con respecto de lo que señalas. El análisis de amplitud del oscilador forzado que lleva a la primera expresión que escribí en el post #2 no se refiere al comportamiento transitorio del sistema, que sería el que corresponde a la situación que indicas en tu mensaje, en el que el sistema está inicialmente en reposo y la base comienza a oscilar. Se refiere a la situación de estado estacionario, es decir, una vez superada la fase transitoria y en la que el sistema masa superior-resorte ya oscila con la misma frecuencia que la base, pero con diferente amplitud y cierto desfase.

Una analogía con estos problemas son los circuitos RLC de corriente alterna, que también tienen una frecuencia natural de oscilación (la frecuencia de resonancia, $\omega_0=1/\sqrt{LC}$). Al conectarlos a un generador con cierta pulsación $\omega$ el sistema atravesará un estado transitorio que irá dando lugar al estacionario. La corriente en el circuito oscila (piensa en la intensidad) con la misma frecuencia que el generador, pero de manera desfasada. Asimismo, la amplitud de la oscilación de la corriente dependerá de la frecuencia del generador, siendo máxima cuando ésta sea igual a la de resonancia. Por cierto que la analogía es bastante completa: la resistencia es el elemento disipador de energía; el sistema de tu problema equivale a un circuito LC.

Saludos!

[LauraLopez]

Re: sismografo

ahi masomenos un poco mas entendi igual sigo sin poder seguir todo el razonamiento.....

O sea la base al oscilar produce una amplitud de altura ${y}_{b }$ o sea que el extremo inferior del resorte queda elevado a una altura ${y}_{b }$?
y como llamas "y" a la posicion superior del resorte , tendriamos que la longitud del resorte es la resta de estos dos puntos..

Longitud del resorte = $y - {y}_{ b}$

Por otro lado la longitud natural del resorte es ${l}_{ 0}$

Entonces la deformacion que sufre el resorte a causa de la vibracion de la base ( y del peso del sismografo supongo) es $\delta = ( y - {y}_{ b} ) - {l}_{ 0}$

Con lo cual resulta que la fuerza elastica es: ${f}_{e } =- k( y - {y}_{ b} - {l}_{ 0})$

Hasta ahi es asi?
Depues no veo como aplicas newton , ni el porque definis el x que decis que es la "elongacion" se me confunde la diferencia entre "elongacion" y "longitud"
Hasta ahora yo ya tenia hallado la deformacon y la longitud .

Al intentar plantear Newton sobre el eje y (vertical) yo diria que el peso (mg) va hacia abajo y la fuerza elastica hacia arriba o sea:

${f}_{e } - mg = ma$

$-k ( y - {y}_{ b} - {l}_{ 0}) -mg = ma$

y de aca no veo como hallas la F0....

[arivasm]

Re: sismografo

La $y_b$ no es la amplitud de la oscilación de la base, sino la posición de esta última, y que varía con el tiempo según

$y_b=A_b\cos\omega t$

Como ves, el origen de las $y$ está tomado en el centro de la oscilación de la base (aunque no es estrictamente necesario; si no fuese así estaríamos añadiendo un sumando a todas las $y$, que sólo nos complicaría un poco la escritura de algunas fórmulas).

Es perfectamente válido lo que dices acerca del peso. De hecho, vamos a considerarlo y escribir exactamente lo mismo que has puesto tú: $-k ( y - y_b - l_0) -mg = ma$. Bueno, casi mejor lo escribimos así:

$$m \dst \frac{\dd y^2}{\dd t^2} = -k [ y - y_b(t) - l_0] - m g$$

donde he indicado explícitamente que $y_b$ es en realidad una función del tiempo.

Ahora recordemos cómo es la ecuación de un oscilador armónico forzado:

$$m \dst \frac{\dd x^2}{\dd t^2} = -k x + F(t)$$

donde

$F(t)=F_0\cos\omega t$

es la fuerza que ejerce la fuerza excitadora y $x$ es la elongación que tiene en cada instante el oscilador, es decir, la distancia entre su posición actual y la de equilibrio.

Por eso, para convertir (1) en la forma de (2) comenzaré preguntándome dónde está la posición de equilibrio. Es decir, ¿si no hay fuerza excitadora (o si la base está parada en su sitio de equilibrio, $y_b(t)=0$) y la masa superior está inmóvil ($a=0$) cuál será su $y$, que llamaré $y_0$?.

Recurrimos a (1) haciendo $y_b(t)=0$ y $a=0$, de manera que $k(y_0-l_0) = -m g$, y entonces

$\dst y_0=l_0-\frac{m g}{k}$.

Así pues, la elongación en cada instante es

$$\dst x = y-y_0=y-l_0+\frac{m g}{k}$$

Por tanto, el lado derecho de (1) puede escribirse

$$-k [ y - y_b(t) - l_0] - m g = - k \left(y-l_0+\frac{mg}{k}\right) + k y_b(t)=- kx + k y_b(t)$$

Con respecto al lado izquierdo, si derivo (3) dos veces tengo que

$\dst \frac{\dd y^2}{\dd t^2} = \frac{\dd x^2}{\dd t^2}$

de manera que (1) puede escribirse

$m \dst \frac{\dd x^2}{\dd t^2} = -k x + k y_b(t)$

y así es como veo, al comparar con (2), que tenemos un oscilador armónico forzado, con una fuerza estimuladora $F(t)=k y_b(t)$ y entonces que la amplitud de esta última es $F_0=kA_b$

[LauraLopez]

Re: sismografo

mil graciassssssssss ahora si entendi como llegaste a ese resultado...la verdad que me costo mucho pero ya esta

Ahora volviendo al ejercicio ajaj Tengo:


$A = A_b \frac{\omega_0^2}{|\omega_0^2-\omega^2|}$

${{w}_{0 } }^{2 } = 6,7179$

${A}_{b } = 0,010$

$0,015 <\frac{(0,010)(6,7179)}{6,7179 - {w}^{2 } }$

y ahora como sigo.....

[arivasm]

Re: sismografo

Es fundamental el valor absoluto del denominador. Separa dos casos: para $\omega<\omega_0$ y para $\omega>\omega_0$.

[LauraLopez]

Re: sismografo

porque tengo q distinguir esos casos? si en ambos casos igual el resultado va a ser positivo por estar el valor absoluto....ademas no se como saber cuando uno sera mas garnde que el otro...por otro lado como llego a "la gama de frecuencias que deben excluirse"

[arivasm]

Re: sismografo

La gama de frecuencias que hay que excluir es un rango alrededor de $\omega_0$. Veo que encuentras que

$$|6,7179\,{\rm rad}^2{\rm /s}^2-\omega^2|>4,4786\,{\rm rad}^2{\rm /s}^2$$

Para traducir eso a un intervalo hay que separar los dos casos que te dije. Así, para frecuencias menores que la natural la condición anterior será $6,7179\,{\rm rad}^2{\rm /s}^2-\omega^2>4,4786\,{\rm rad}^2{\rm /s}^2$, y entonces $\omega < 1,496\,{\rm rad/s}$.

Para frecuencias mayores que la natural, la resta a la izquierda en (1) será negativa, con lo que el valor absoluto equivale a que se cumpla que

$\omega^2-6,7179\,{\rm rad}^2{\rm /s}^2>4,4786\,{\rm rad}^2{\rm /s}^2$

es decir, que $\omega > 3,346\,{\rm rad/s}$.

Por tanto, el rango de frecuencias que debe excluirse se extiende desde 0,24 Hz hasta 0,53 Hz (según resulta al traducir las $\omega$ anteriores a frecuencias).

[LauraLopez]

Re: sismografo

Hola puede ser que hay un error en las unidades?

La contasnte de cada resorte es : K = 65,5 N/cm

Tengo: K = 4(65.5) =262 N/cm = 26200 N/m

${{W}_{0 } }^{2 } = \frac{k}{m } = \frac{26200}{59 } = 671,794 \frac{{rad}^{2 } }{{s}^{2 } }$

Me pide la game de frecuencias a exluir tal que $A \leqslant 0,00015 m$

(Es menor o igual no? vi que en tu ultimo post solo usaste el menor)

$A = \frac{(0,0001)(671,794)}{|671,794 - {w}_{2 } | } = \frac{0,067179}{|671,794 - {w}_{2 } | } \leqslant 0,00015$

$|671,794 - {w}_{2 } | \geqslant 447,86$

Haciendo luego tu mismo analisis llego a :

$w\leqslant 14,964 rad/s$

$w\geqslant 33,461 rad/s$

Pasado a frecuencia quedaria : f= 2,38 Hz y f= 5,32 Hz

Entonces el rango de frecuencias a excluir seria (2,38 , 5,32)

Seria asi con parentesis o sea sin incluir ambos extremos no?

[arivasm]

Re: sismografo

No he revisado los números, sólo me centré en el procedimiento. Lo que escribes parece correcto (tampoco he comprobado las cifras), aunque veo que en el enunciado la masa es de 39 kg y no 59. Sobre lo de excluir los extremos, aunque sea una cuestión menor, creo que lo pones correctamente, pues el enunciado dice que "no supere..." y los valores que calculas correspondería con los casos en los que la amplitud igualaría la máxima admisible, de manera que no sería necesario dejarlos fuera.