Otras carreras componentes radial y transversal

[LauraLopez]

Hola!
Bueno en este ejercicio algo hice ya pero no estoy segura si esta bien:

A) Me pide vel angular,radial, y aceleracion angular en el instante inicial.

${v}_{\theta }= {v}_{0 }\cos \theta$

${v}_{\theta } = 2\cos 20 = 1,880 m/s$

Ademas sabemos que $\omega = \frac{{v}_{\theta } }{ r}$

$\omega = \frac{1,880}{4 }$

$\omega = 0,47 1/s$ Esta seria la velocidad angular inicial.

Para la velocidad radial uso que:

${v}^{2 } = {{v}_{r } }^{2 } + {{v}_{\theta } }^{2 }$

Entonces

${v}_{r } = 0,682 m/s$ Esta es la velocidad radial

Y para la aceleracion angular esta seria la derivada de $\omega$ con respecto al tiempo no? y como omega en el instante inicial vale 0,47 tenemos que la aceleracion angular en el instante inicial es 0.

Les parece que hice bien el inciso a ??

B) Aca veo que puedo usar conservacion del momento angular por ser F una fuerza central....

Entonces tengo que en el instante en que la particula se encuentra a la mitad de la distancia inicial tenemos:

$L = m\frac{{r}_{0 } }{2 }{v}_{ \theta }\sin 90$

Y en el instante inicial

${L}_{0 } = m{r}_{0 }{v}_{{\theta }_{ 0} }\sin 90$

Igualando

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


Y ahora no se como hallar la componente radial....
La fuerza F seria igual a Kr no? de ser asi se comportaria como una fuerza elastica y podria plantear conservacion de la energia como si hubiera fuerza elastica puede ser?
o es otro el camino para hallar la velocidad radial?

C)Aca no estoy segura pero seria:

$\int F dr =$ nose como se ponen los extremos de integracion con latex :P pero seria entre ${r}_{0 }$ y $\frac{{r}_{0 } }{2 }$

$W = k{r}^{2 }/2$ valuado en los extremos de integracion que me quedaria

$W = \frac{-3{{r}_{0 } }^{ 2} K}{8 }$

$W = - 60$

Esta bien que sea negativo el trabajo no? porque me muevo hacia el cero...

D) La aceleracion tangencial ceria cero porque la aceleracion es la derivada de la velocidad, que en este caso es una constante
${a}_{t } = 0$

${a}_{n } = {v}^{2 }/r = \frac{{2}^{2 } }{4 } = 1$

[arivasm]

Re: componentes radial y transversal

Al ser una fuerza central cuyo módulo sólo depende de la distancia al centro de fuerzas será conservativa. En concreto, al ser $F_r=-k r$ la energía potencial será $U=\frac{1}{2}kr^2$. Puedes usar la conservación de la energía, y que el trabajo realizado por la fuerza es $W=-\Delta U$.

[LauraLopez]

Re: componentes radial y transversal

ok! ahi voy a intentar eso...

el iniciso a) esta bien como lo hice?

y la parte del inciso b que halle esta bien?

Siguiendo con lo que me decis asumiendo que la parte que hice del inciso b esta bien tendria que decir que la energia mecanica en el instante inicial es:

$\frac{1}{2 }m{{v}_{0 } }^{2 } + \frac{1}{2 }k{{r}_{0 } }^{2 }$

$\frac{1}{2 }(0,5){(2) }^{2 } + \frac{1}{2 }(10){(4)}^{2 } = 81 J$

Luego la energia mecanica en el instante donde la particula se encuntra a mitad de la distancia inicial es:

$\frac{1}{2 }(0,5){{v}_{1 } }^{2 } + \frac{1}{2 }(10){(2) }^{2 }$

$\frac{1}{ 4}{{v}_{1 } }^{2 } + 20$

Igualmando energias tenemos:

$81 = \frac{1}{ 4}{{v}_{1 } }^{2 } + 20$

${{v}_{1 } }^{2 } = 244$

Ademas como ${v}^{2 } = {{v}_{ r} }^{2 } + {{v}_{ \theta } }^{ 2}$

reemplazado usando lo anterior y el resultado que halle antes ( que espero este bien :P) ${v}_{\theta } = 3,78$ quedaria:

${v}_{r } = 15,16 m/s$

Ahi quedaria el inciso b .....si es que lo hice bien :P

[LauraLopez]

Re: componentes radial y transversal

con respecto al iniciso c porque el trabajo es el delta de la energia potencial? el trabajo no es el delta de la energia mecanica?

[arivasm]

Re: componentes radial y transversal

Las componentes de la velocidad en a) son correctas y la velocidad angular (respecto de O) también. Tienes mal la aceleración angular. Piensa que con sólo el valor de una función no puedes afirmar nada acerca de su derivada, es decir, que el razonamiento que haces a partir de que conoces su valor es incorrecto.

Todavía no tengo muy claro cómo determinarla. Permíteme que lo piense un poco más.

Para b), lo que has escrito está bien. Como te dije, usa la conservación de la energía para obtener el módulo de la velocidad y con éste, y la componente transversal que determinaste, encontrar la radial.

Por último, lo que tienes escrito para el d) es incorrecto. Sucede lo mismo de antes. Puedes encontrar las componentes que te piden determinando en primer lugar la aceleración a partir de la fuerza sobre la partícula. La componente tangencial de la aceleración es la proyección de la aceleración sobre la dirección de la velocidad, es decir, $a\sin\theta$. La centrípeta es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

[LauraLopez]

Re: componentes radial y transversal

lo del inciso d....entonces haber si te entendi puedo plantear que la sumatoria de las fuerzas en la direccion normal, seria:

$F + mg\cos \theta = m{a}_{n }$

Para el instante inicial

$(10)(4) + (0,5)(9,81)\cos 20 = (0,5) {a}_{n }$

${a}_{n } = 89,21 m/s$

Me parece demasiado grande el numero....no esta bien el razonamiento?

[arivasm]

Re: componentes radial y transversal

con respecto al iniciso c porque el trabajo es el delta de la energia potencial? el trabajo no es el delta de la energia mecanica?

Hay tres teoremas que guardan relación con el trabajo y la energía. Permíteme recordarlos:

• El trabajo total es igual a lo que cambia la energía cinética: $W_{total}=\Delta K=K_{fin}-K_{in}$
• El trabajo que realizan las fuerzas conservativas es el opuesto de la variación de la energía potencial: $W_{cons}=-\Delta U=U_{in}-U_{fin}$. (en realidad esto es la definición de energía potencial)
• El trabajo que realizan las fuerzas no conservativas es igual a lo que cambia la energía mecánica: $W_{nc}=\Delta E=E_{fin}-E_{in}$

Como ves, al no haber fuerzas no conservativas en este ejercicio (pues la resultante es conservativa) el tercero de estos teoremas nos dice algo que ya has usado: la energía mecánica no cambia!

Por cierto que me doy cuenta de que si quieres también puedes recurrir al primero de estos teoremas para determinar el trabajo realizado por la fuerza resultante. Puede ser una buena manera de comprobar que cualquiera de los dos primeros teoremas conducen al mismo resultado.

Aprovecho para comentar que no se debe tener en cuenta el peso, toda vez que ya está incluido en la fuerza del enunciado.

lo del inciso d....entonces haber si te entendi puedo plantear que la sumatoria de las fuerzas en la direccion normal, seria: $F + mg\cos \theta = m{a}_{n }$

Como dije antes, no debes incluir el peso. Pero además, ten en cuenta que la aceleración normal es perpendicular a la trayectoria y que esta última es tangente a la velocidad. Lo que quiero transmitirte es que no es lo mismo aceleración normal o tangencial que aceleración radial o transversal respecto de O. Es decir, tampoco será correcto escribir $F = m{a}_{n }$. Por eso te sugiero el camino de descomponer la aceleración según la dirección de la velocidad (aceleración tangencial) y la perpendicular (aceleración normal o centrípeta).

Saludos!

[LauraLopez]

Re: componentes radial y transversal

.....nose como hacer lo que me decis porque no puedo descomponer la aceleracion si no tengo antes el valor de su modulo y saber para donde esta dirigida y con que angulo....la direccion normal no es la misma hacia la que va F?

[LauraLopez]

Re: componentes radial y transversal

Decis que la aceleracion es simplemente: $a = \frac{F}{m }$ ?

Como se que angulo forma o para donde va dirigida?

[arivasm]

Re: componentes radial y transversal

Sí, es $F/m$, porque $F$ es la fuerza resultante (fíjate que así lo dice el enunciado). Con respecto al ángulo, la aceleración siempre está dirigida de la misma manera que la fuerza resultante, luego apunta hacia O. El ángulo con la dirección de la velocidad es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (prolonga hacia atrás el vector velocidad y lo verás fácilmente).

Con respecto a lo de la normal, vuelve a leer lo que te escribí: no lleva la dirección de F porque la normal es perpendicular a la velocidad, y F no lo es.

[arivasm]

Re: componentes radial y transversal

Creo que ya sé cómo calcular la aceleración angular respecto de O. Partamos de la conservación del momento angular, que escribiremos como $L=mrv_\theta=mr^2\omega$. Como es una constante tenemos que $r^2\omega=cte$. Derivando respecto del tiempo, resulta que $2rv_r\omega+r^2\alpha=0$, es decir, $\alpha=-2 v_r \omega / r$

[LauraLopez]

Re: componentes radial y transversal

Hola....sigo sin entender bien lo del inciso d...o sea me decis que la aceleracion es un vector paralelo a F?? el angulo que forma F con V0 no seria $90 +\theta$ en vez de $90 - \theta$ como me indicaste? si quiero dibujar los ejes normal y tangencial entonces el eje tangencial seria en la misma direccion que va V0 y el normal uno perpendicular a este o sea vertical?

[LauraLopez]

Re: componentes radial y transversal

En el inciso a la constante no seria todo L? o sea $mr^2\omega=cte$

[arivasm]

Re: componentes radial y transversal

...me decis que la aceleracion es un vector paralelo a F?? el angulo que forma F con V0 no seria $90 +\theta$ en vez de $90 - \theta$ como me indicaste? si quiero dibujar los ejes normal y tangencial entonces el eje tangencial seria en la misma direccion que va V0 y el normal uno perpendicular a este o sea vertical?

Insisto: la F es la fuerza resultante. Por supuesto que su dirección es la misma que la de la aceleración. Recuerda la 2ª ley de Newton $\dst \vec a = \frac{\vec F}{m}$.

El ángulo entre $\vec a$ y $\vec v_0$ ciertamente es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Yo te señalé el suplementario porque se trata de calcular la proyección de la aceleración sobre la dirección de la velocidad. Puedes usar el que indicas, pero recuerda no dar un valor negativo para el módulo de un vector; es decir, maneja el valor absoluto del resultado que obtengas.

Ciertamente, tal como está el dibujo, en el instante $t=0$ el eje tangencial es horizontal y el normal vertical.

En el inciso a la constante no seria todo L? o sea $mr^2\omega=cte$

Sí, por supuesto. Pero como la masa es constante, al derivar simplemente se nos va a ir. Por eso derivé directamente $L/m$ que también es una constante. Pero si quieres, deriva el módulo de $L$ completo.

[LauraLopez]

Re: componentes radial y transversal

Haber si entendi bien entonces para el incido d....

Sabemos que $F = ma$ entonces $a= F/m$

como F es la fuerza resultante la aceleracion va a tener la misma direccion que F

Para el instante inicial tenemos : $a= 10(4) / 0,5 = -80 m/s^2$ en la direccion radial ( de modulo 80)

El eje tangencial es entonces el eje horizontal dirigido hacia la derecha ( igual a V0)
y el eje normal es un eje vertical que apunta hacia abajo.

Como decias vos el angulo que forma la aceleracion con el eje tangencial seria un angulo $\alpha = 90 - \theta = 70$

Entonces las componentes normal y tangencial que me pide serian:

${a}_{t } = a\cos 70 = -27,36$ en la direccion del eje tangencial (use el modulo de a , o sea 80 positivo pero igual el resultado deberia ser negativo porque la aceleracion va en contra del sentido positivo del eje tangencial no?)

${a}_{n } = a\sin 70 = 75,17$ en la direccion del eje normal