Otras carreras oscilacion amortiguada

[LauraLopez]

En este creo que seria el caso de un oscilador amortiguado NO forzado.

Asi que tengo que:

$m\vec{a} = b\vec{v} + kx = 0$

Donde como me dice que se desplaza 20cm la fuerza elastica seria ${f}_{ e} = -32(0,2) = -6,4 N$

Tengo que : $X(t) = \dst A\ee^{-\frac{b}{2m}t}\cos(\omega t+\theta_0)<br />$

Lo que me pide es X(2) ? nose como llegar a eso...el dato de la fuerza elastica que calcule antes no veo donde usarlo alguna ayuda?

[guibix]

Re: oscilacion amortiguada

Buenas,

El dato que has buscado solo te sirve para la fuerza inicial, ya que la fuerza disminuye al acercarse al punto de equilibrio.

Fíjate que $A$ es la elongación máxima y al ser un sistema amortiguado, el máximo de elongación son los 20cm.

Te faltaría encontrar $\omega$. Piensa que el tiempo que tarda la masa en ir de los 20cm al 0 es el tiempo que tarda $\omega$ en recorrer $\pi/2$ radianes. Ahora no estoy seguro, porqué no lo tengo fresco, pero quizás con esto puedas hacer algún sistema, ya que no sabes la $t$ para $X=0$ y deberías hacer algo más. Ahora mismo estoy muy espeso para pensármelo, piénsalo tú

Teniendo la $A$ y la $\omega$, sólo te falta poner $t=2$ en la ecuación para resolverla.

[LauraLopez]

Re: oscilacion amortiguada

O sea decis que la amplitud A es el dato inicial que me da? A= 0,2 m
y ${w}^{2 } = k/m$

o sea que reemplazando en esta ecuacion ya estaria??

$X(t) = \dst A\ee^{-\frac{b}{2m}t}\cos(\omega t+\theta_0)$

Y el ${\theta }_{0 }$ lo asumo como cero?

[LauraLopez]

Re: oscilacion amortiguada

Ademas me queda la duda ya que se trata de un oscilador amortiguado este seria el caso de uno debil no? ese dato donde lo usaria?

La amplitud A no seria la amplitud con la que empieza a oscilar una vez que lo suelto? como depende de t va disminuyendo con el tiempo....no entiendo porque el dato inicial de 20 cm lo puedo usar como si fuera la amplitud....

[LauraLopez]

Re: oscilacion amortiguada

Pensando un poco mas el ejercicio creo que lo hice...pero tengo dudas si esta bien si alguien por favor me puede decir si lo que hice esta bien o no...

Primero digo que se trata de un oscilador amortiguado no forzado, entonces:

$m\vec{a} = b\vec{v} + kx = 0$

Cuya solucion es :

$X(t) = \dst {A}_{0 } \ee^{-\frac{b}{2m}t}\cos(\omega t+\theta_0)$

y la frecuencia angular es: $\omega = \sqrt{{{w}_{0 } }^{2 } - {(\frac{b}{2m } })^{ 2} }$

donde ${{w}_{0 } }^{ 2} = \frac{k}{m } = \frac{32}{8 } = 4$

$\omega = \sqrt{4 - {(\frac{20}{2(8) } })^{ 2} } = 1,5612$

${A}_{0 } = 0,2 mts$

Entonces para t=2 segundos....

$X(2) = \dst (0,2) \ee^{-\frac{20}{2(8)}2}\cos(1,5612 (2)) = -0,0164m =-1,64 cm$

Les parece que esta bien resuelto?

Tengo la duda si esta bien el asumir el ${\theta }_{0 } = 0$

[guibix]

Re: oscilacion amortiguada

La $A$ viene de "amplitud", que es precisamente la elongación máxima del sistema: distancia entre el punto de equilibrio y el punto en que la masa más se aleja de él. Al haber disipación de energía no se volverá a llegar a esta distancia en ningún otro momento excepto al iniciar. Y como se trata de una constante, solo puede tener un valor. Observa que en tu ecuación, si $t=0$, entonces $X(0)=A$. Y como $X(0)=X_0$, entonces $X_0=A$.

El $\theta_0$ es igual a 0. Si eliges el coseno, la función empieza en un máximo cuando el ángulo es cero como en este caso.

No he comprobado el resultado, pero la frecuencia angular es constante por lo que $\omega_0=\omega$. Por mucho que se amortigüe, la onda recorre cada ciclo con el mismo tiempo.

Por lo demás, si pones los números en su sitio y calculas, seguro que te da bien. Solo asegúrate de operar correctamente con la calculadora (paréntesis y demás).

Como detalles de notación: En la primera expresión la $x$ debería ser vectorial o la $v$ y la $a$ escalares, pero no puedes sumar vectores con escalares. Otro detalle es que los metros SIEMPRE se escriben $m$ y NUNCA $mts$.

Saludos.

[LauraLopez]

Re: oscilacion amortiguada

la forma en la que encontre omega decis que esta mal entonces? buscando encontre que esa es la forma de calcular omega cuado el sistema es amoriguado....

[guibix]

Re: oscilacion amortiguada

la forma en la que encontre omega decis que esta mal entonces? buscando encontre que esa es la forma de calcular omega cuado el sistema es amoriguado....

Disculpa, ya lo has hecho bien. Me he despistado pensando que la $\omega_0$ era la velocidad angular inicial y en realidad es la velocidad angular que tendría si no tuviese amortiguación. Por eso decía que la velocidad angular debe ser constante y como una constante por definición es $\omega=\omega_0$, siendo $\omega_0$ la velocidad angular inicial, no la "no amortiguada", me confundí de $\omega_0$. Por lo tanto no hagas caso a esto, es una mala interpretación mía.

Por otro lado, te recomiendo que trates con letras hasta el final antes de poner números y así evitas posibles errores de redondeo (no siempre es el caso, pero es muy recomendable coger la costumbre por si acaso). Por ejemplo puedes proceder así:

$$\omega = \sqrt{{{w}_{0 } }^{2 } - {(\frac{b}{2m } })^{ 2} }$$

y como $\omega_0^2=\frac{k}{m}$, entonces:

$$\omega=\sqrt{\frac k m -(\frac{b}{2m})^2}$$

Sustituyendo $\omega$ en la ecuación de desplazamiento respecto al tiempo obtenemos:

$$X(t)=Ae^{-\dfrac{bt}{2m}}\ cos\left (\sqrt{\frac k m -(\frac{b}{2m})^2} \ t+\theta_0\right)$$

.

Luego pones los números, simplificas sin redondeos y lo escribes en la calculadora.

Yo diría que el planteamiento está bien. Solo asegúrate de escribir bien en la calculadora para obtener el resultado correcto (al loro con los paréntesis). Si así te da el mismo resultado (o casi) que antes, entonces ya lo tienes.

Salud y perdona la confusión.