Otras carreras Péndulo doble

[Putalepuff]

Hola, podrían echarme una mano para determinar las ecuaciones? Es solamente el planteamiento.

Muchas gracias.

[Putalepuff]

Re: Péndulo doble

Me equivoqué de sector, si pueden mover acá por favor: http://forum.lawebdefisica.com/forum...a-te%C3%B3rica

[arivasm]

Re: Péndulo doble

Escribe los vectores de posición de ambas partículas en función de $\theta_1$ y $\theta_2$, Te recomiendo que sitúes el origen de coordenadas en el punto de suspensión. Derivándolos respecto del tiempo tendrás las velocidades en función de los $\theta_i$ y $\dot\theta_i$, lo que te permite encontrar la energía cinética del sistema. Para construir la lagrangiana ten en cuenta que la energía potencial será, si has tomado el origen en el punto de suspensión, $-m_1 g y_1 - m_2 g y_2$. Después debes aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange. Por último, usa las aproximaciones $\sin\theta_i \approx \theta_i$ y $\cos\theta_i \approx 1$

[Putalepuff]

Re: Péndulo doble

Después de mucho cálculo y de aproximaciones, he llegado a las siguientes ecuaciones:

$3{{\overset{\cdot \cdot }{\mathop{\theta }}\,}_{1}}+2\overset{\cdot \cdot }{\mathop{{{\theta }_{2}}}}\,+3{{w}^{2}}{{\theta }_{1}}=0$ y $\overset{\cdot \cdot }{\mathop{{{\theta }_{2}}}}\,+{{\overset{\cdot \cdot }{\mathop{\theta }}\,}_{1}}+{{w}^{2}}{{\theta }_{2}}=0.$ Existe alguna relación entre las variables y las derivadas para poder resolver este sistema? (Donde $w$ es la frecuencia de oscilación.)

[arivasm]

Re: Péndulo doble

Perdona que haya tardado tanto en responderte.

Salvo que el ejercicio incluya relaciones entre las masas que no aparecen en el enunciado, yo encuentro unas ecuaciones diferenciales diferentes de las que indicas. Por si acaso, recojo algunos de mis resultados parciales. La lagrangiana que obtengo es ésta (tomo el 0 de las energías potenciales en el punto de suspensión):

$$\dst \begin{aligned}<br /> L = & \frac{1}{2}(m_1+m_2)l^2\ddot \theta_1+\frac{1}{2}m_2 l^2\ddot \theta_2+m_2 l^2 \dot\theta_1\dot\theta_2\cos(\theta_1-\theta_2)\\<br /> & +(m_1+m_2)gl\cos\theta_1+m_2 g l \cos\theta_2<br /> \end{aligned}$$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange que tengo son

$$\dst \ddot\theta_1+\mu\ddot\theta_2\cos(\theta_1-\theta_2)+\mu\dot\theta_2^2\sin(\theta_1-\theta_2)+\omega^2\sin\theta_1=0$$

$$\dst \ddot\theta_1\cos(\theta_1-\theta_2)+\ddot\theta_2-\dot\theta_1^2\sin(\theta_1-\theta_2)+\omega^2\sin\theta_2=0$$

donde he llamado

$$\dst\mu=\frac{m_2}{m_1+m_2}$$

$$\dst\omega^2=\frac{g}{l}$$

Introduciendo la simplificación para ángulos pequeños, las ecuaciones anteriores las aproximo como

$$\dst \ddot\theta_1+\mu\ddot\theta_2+\omega^2\theta_1=0$$

$$\dst \ddot\theta_1+\ddot\theta_2+\omega^2\theta_2=0$$

Para resolver el sistema y encontrar los modos normales de vibración, lo escribo en forma matricial como

$$M\ddot\theta+A\theta=0$$

donde $M$ y $A=\omega^2 I$ son las matrices de coeficientes ($I$ es la matriz identidad) y $\theta$ es un vector columna formado por $\theta_1$ y $\theta_2$.

El sistema anterior lo pongo en la forma

$$\ddot\theta+N\theta=0$$

donde

$$N=M^{-1}A=\omega^2M^{-1}$$

Para encontrar los modos normales de vibración diagonalizo la matriz $N$, aplicando la condición

$\det(N-\lambda I)=0$

De esa manera encuentro los dos autovalores $\lambda_i$, cuya raíz cuadrada es igual a las pulsaciones de los modos de vibración, es decir, $\omega_i=\sqrt{\lambda_i}$.

En particular, finalmente encuentro

$\lambda_1=\omega_1^2=\omega^2$
$\dst\lambda_2=\omega_2^2=\omega^2\left(1+2\frac{m_2}{m_1}\right)$

Espero no haberme equivocado!

Saludos!

[Alriga]

Re: Péndulo doble

El movimiento caótico del péndulo doble, (a partir de 2:40 / 4:34)

Saludos.

[felmon38]

Re: Péndulo doble

Arivasm, creo que la L no está bien porque aparecen derivadas segundas de los ángulos.
Saludos

[arivasm]

Re: Péndulo doble

Está claro. Donde aparecían las segundas derivadas posiblemente deba aparecer la primera derivada al cuadrado. De todos modos, lo revisaré con papel y bolígrafo antes de hacer los cambios. A ver si me hago un hueco, si la sobrecarga LOMCE (no pongo adjetivos) me lo permite...

[arivasm]

Re: Péndulo doble

Efectivamente, el error en (1) era de transcripción, y donde ponía segundas derivadas era primera derivada al cuadrado:
$\dst \begin{aligned}<br /> L = & \frac{1}{2}(m_1+m_2)l^2(\dot \theta_1)^2+\frac{1}{2}m_2 l^2(\dot \theta_2)^2+m_2 l^2 \dot\theta_1\dot\theta_2\cos(\theta_1-\theta_2)\\<br /> & +(m_1+m_2)gl\cos\theta_1+m_2 g l \cos\theta_2<br /> \end{aligned}$

Creo que el resto del mensaje estaba bien