Otras carreras oscialacion forzada y amortiguada

[LauraLopez]

Este creo que seria un oscilador amortiguado y forzado no?

Entonces aca tengo que la amplitud es:

$\dst A=\frac{F_0}{\sqrt{m^2(\omega_0^2-\omega^2)^2+b^2\omega^2}}<br />$

Donde ese n=0,2 seria el b por lo que entiendo...

Con f= 4 Hz encuentro ${w}_{0 } = 2\pi f = 8 \pi$

Y aca una duda es el ${F}_{ 0}$ es como antes ${F}_{0} = K{A}_{e }$ donde ${A}_{e }$ es la amplitud de la estructura, o por haber un amortiguamiento la forma de calcular la F0 cambia en algo?
Igualmente aca no me dan el dato de cuanto vale la amlplitud de la estructura...

Para calcular el w la formula que creo que habria que usar es : $\omega = \sqrt{{{w}_{0 } }^{2 } - {(\frac{b}{2m } })^{ 2} }$ aunque no tengo el dato de la masa y en otro post que hice de un oscilador amortiguado creo haber entendido que por lo menos para ese caso esta no era la formula a usar asi que no estoy segura de esta formula...

[arivasm]

Re: oscialacion forzada y amortiguada

El factor de amortiguamiento no es lo mismo que el coeficiente de amortiguamiento, $b$, sino que se define como la cantidad adimensional $\dst\eta=\frac{b}{2m}$. He buscado en la web alguna referencia para que lo puedas ver y una de las que he encontrado es ésta: www.uco.es/~fa1alpej/docencia/oscilaciones.pdf

Por tanto, como veremos, no te falta la masa. Podemos partir de la expresión que indicas, $\dst A=\frac{F_0}{\sqrt{m^2(\omega_0^2-\omega^2)^2+b^2\omega^2}}$. En este tipo de ejercicios $F_0=kA_b$, luego $\dst \frac{A}{A_b}=\frac{k}{\sqrt{m^2(\omega_0^2-\omega^2)^2+b^2\omega^2}}$, que mejor la escribimos así:

$\dst \frac{A}{A_b}=\frac{k/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\frac{b^2}{m^2}\omega^2}}=\frac{\omega_0^2}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\frac{b^2}{m^2}\omega^2}}$

Si introducimos el factor de amortiguamiento, tenemos

$\dst \frac{A}{A_b}=\frac{\omega_0^2}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\eta^2\omega^2}}$

En el ejercicio te dan el máximo para la relación $A/A_b$, $\omega_0$ y $\eta$. Con ellas encuentras las $\omega$ que marcan los extremos del intervalo que se debe excluir.

[arivasm]

Re: oscialacion forzada y amortiguada

Después de enviarte el mensaje anterior me acaba de entrar una duda enorme, que compartiré aquí. Hay una incoherencia en lo que dije antes: la definición $\eta=b/2m$ no es una cantidad adimensional, sino que tiene dimensiones de $\omega$, es decir, $\rm s^{-1}$.

Por tanto, y teniendo en cuenta que la cantidad del enunciado carece de unidades, es muy posible que se esté usando el término para referirse a $\dst\frac{b}{2m\omega_0}$, con lo que la expresión a usar no sería la que te indiqué, sino esta otra:

$\dst \frac{A}{A_b}=\frac{\omega_0^2}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\eta^2\omega_0^2\omega^2}}$

[LauraLopez]

Re: oscialacion forzada y amortiguada

con respecto a lo ultimo que decis....si coincido que sino tiene unidades deberia ser como decis vos igual llama la atencion que el enunciado lo menciona como factor de amortiguamiento si realmente es el factor de amortiguamiento la formula seria la que dijiste primero...en ambos casos se hablaria de un error del enunciado...asumamos que es como dijiste en tu ultimo post entonces:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Por lo que me dice el enunciado "vibracion absoluta no debe superar el doble de la de la estructura" entiendo que:

$\frac{A}{{A}_{b } }\leqslant 2$

$\dst \frac{\omega_0^2}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\eta^2\omega_0^2\omega^2}} \leqslant 2$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Elevo al cuadrado ambos miembros

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y aca no uso valor absoluto porque todo esta elevado al cuadrado entonces siempre da positivo...

Asi que no tendria que hacer ese analisis que hice la otra vez no?

Igualmente al seguir operando no llego a nada muy claro...obtengo:

$- \frac{3}{4 }{{w}_{0 } }^{4 } = {w}^{4 } + {{w}_{0 } }^{ 2}{w}^{2 }(4\eta^2 - 2 )$

Hay algo mal? o alguna ayuda con esa ecuacion que me queda si es que vengo bien...

[LauraLopez]

Re: oscialacion forzada y amortiguada

ahh y con respecto a la formula esta : $\omega = \sqrt{{{w}_{0 } }^{2 } - {(\frac{b}{2m } })^{ 2} }$
que es valida para los casos de amortiguamiento porque no la puedo usar en este caso para hallar w???

[arivasm]

Re: oscialacion forzada y amortiguada

Asi que no tendria que hacer ese analisis que hice la otra vez no?

Igualmente al seguir operando no llego a nada muy claro...obtengo:

$- \frac{3}{4 }{{w}_{0 } }^{4 } = {w}^{4 } + {{w}_{0 } }^{ 2}{w}^{2 }(4\eta^2 - 2 )$

Hay algo mal? o alguna ayuda con esa ecuacion que me queda si es que vengo bien...

No hace falta ese análisis, porque en realidad lo vas a hacer implícitamente. Si te fijas tienes una ecuación de 2º grado en $\omega^2$.

ahh y con respecto a la formula esta : $\omega = \sqrt{{{w}_{0 } }^{2 } - {(\frac{b}{2m } })^{ 2} }$
que es valida para los casos de amortiguamiento porque no la puedo usar en este caso para hallar w???

Si no recuerdo mal, la fórmula que indicas nos proporciona la frecuencia de un oscilador amortiguado (débil) no forzado. No es oportuna aquí porque éste es forzado.

[arivasm]

Re: oscialacion forzada y amortiguada

Creo que tienes un error:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Elevo al cuadrado ambos miembros

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] <- Falta un factor 4 en el último sumando

Por cierto, con respecto a la ecuación de 2º grado, te recomiendo que llames $x=\omega^2/\omega_0^2$ y la resuelvas previamente en $x$

[LauraLopez]

Re: oscialacion forzada y amortiguada

eso fue un error de tipeo....mira llego a esto

tenia

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

${{w}_{0 } }^{4 }\leqslant 4 ({{w}_{ 0} }^{4 } - 2{{w}_{0 } }^{2 }{w}^{2 } + {w}^{4 } + 4\eta^2\omega_0^2\omega^2 )$

$- \frac{3}{4 }{{w}_{0 } }^{4 } \leqslant {w}^{4 } + {{w}_{0 } }^{ 2}{w}^{2 }(4\eta^2 - 2 )$

$- \frac{3}{4 }{{w}_{0 } }^{4 } \leqslant {w}^{4 } + {{w}_{0 } }^{ 2}{w}^{2 }(4(0,2)^2 - 2 )$

$- \frac{3}{4 }{{w}_{0 } }^{4 } \leqslant {w}^{4 } + {{w}_{0 } }^{ 2}{w}^{2 }(-1,84)$

${w}^{4 } - 1,84{{w}_{0 } }^{2 }{w}^{2 } +\frac{3}{4 }{{w}_{0 } }^{4 }\geqslant 0$

Teniamos que ${w}_{0 } = 2\pi f = 8\pi$ , luego ${{w}_{0 } }^{2 } = 631,654$

Reemplazo en la formula de antes y tengo:

${w}^{4 } -1,84(631,654){w}^{2 } + \frac{3}{4 } {(631,654)}^{2 }\geqslant 0$

${w}^{4 } - 1162,244614{w}^{2 } + 299240,7277\geqslant 0$

En realidad use ${{w}_{ 0} } = 8\pi$ para mayor precision

Luego llamo $x = {w}^{2 }$

${x}^{2 } -1162,244614 x + 299240,7277\geqslant 0$=

Resuelvo y obtengo x = 777,240659 y x = 385,003955

Entonces W= 27,879 y W = 19,6215


Te parece que este bien??

Poruqe son 2 valores de w?? que significa....ya me marie con los signos mayor y menor de con que me tengo que quedar como resultado final ..

[arivasm]

Re: oscialacion forzada y amortiguada

Lo que has encontrado, correctamente (me refiero al procedimiento, no he revisado los números), son las $\omega$ que corresponden a los extremos de los intervalos permitidos. Como en cualquier inecuación, podemos encontrar los intervalos solución pensando en la gráfica de la función. En este caso lo vemos bien con la ecuación en $x$ y tener en cuenta que debe cumplirse que $f(x)\geq 0$. La gráfica es una parábola, cóncava hacia arriba debido al signo positivo del coeficiente de $x^2$. Por tanto, si las soluciones de $f(x)=0$ son $x_1$ y $x_2$ la condición $f(x)\geq 0$ se cumplirá en los intervalos $(-\infty, x_1]$ y $[x_2,\infty)$. Por supuesto, teniendo en cuenta que las frecuencias son cantidades positivas, la traducción a $\omega=+\sqrt{x}$ y frecuencia es idéntica.

[LauraLopez]

Re: oscialacion forzada y amortiguada

Tenia :

${x}_{1 }= 777,240659$ entonces ${w}_{1 } = 27,879$

${x}_{2 }= 385,003955$ entonces ${w}_{2 } = 19,6215$

con lo cual ${f}_{1 } = 4,437 Hz$ y ${f}_{2 } = 3,1228 Hz$

Frecuencias aceptables: $(-\infty, 3,1228] [4,437,\infty)$

ahora si queda terminado

Una sola duda mas....como seria un caso donde F0 no sea igual a KA... porque por lo que veo siempre que tengamos una oscilacion forzada ya sea con o sin amortiguamiento se llega a eso

[arivasm]

Re: oscialacion forzada y amortiguada

Se me ocurre este primer ejemplo: una masa que tiene carga está unida a un resorte y es sometida a un campo eléctrico oscilante de la misma dirección y sentido que el resorte. Dicho así suena incluso artificial, pero si piensas que el campo eléctrico oscilante podría ser una onda electromagnética y que el sistema masa-resorte puede ser un buen modelo para la vibración de una molécula, estaremos empezando a hablar de un modelo clásico (y no tan clásico, pero mejor no nos metemos por ahí) de la interacción entre luz y materia.

En algún sitio he mencionado la cantante que rompe un vaso con su voz: la onda actúa como fuente de excitación; el vaso ciertamente no es un sistema masa-resorte pero sí posee ciertas frecuencias naturales (modos de vibración). La amplitud de las oscilaciones que produce la onda sigue un patrón semejante (complicado por el hecho de que haya varias frecuencias naturales en lugar de una sola) al del oscilador forzado. De hecho, los osciladores forzados suelen ser en la formación superior una excusa para abordar los problemas de resonancia. Un ejemplo tradicional de la importancia de este fenómeno en la ingeniería (aunque, según parece, la explicación de su rotura requiere de más detalles que la resonancia*) es la destrucción del puente de Tacoma.

https://www.youtube.com/watch?v=MHlICTWMBMs

*Si quieres leer al respecto, esta entrada en Amazings lo cuenta.