Otras carreras energia mecanica y fuerza atractiva

[LauraLopez]

Una particula se mueve bajo accion de una fuerza atractiva $F = -\frac{K}{{r}^{2 } }$ , donde r es la distancia de la particula al centro de fuerza. Si la particula se mueve a lo larrgo de una trayectoria circular de radio r, demostrar que su energia mecanica viene dada por:

${E}_{M } = -\frac{k}{2r }$

y su velovidad es $v = \sqrt{\frac{k}{mr } }$


En este caso como la trayetoria es circular puedo decir que la direccion normal y radial son lo mismo no? o sea iguales pero en sentido opuesto asi que si planteo la sumatoria de las fuerzas en la direccion normal tengo:

$F = m{a}_{n } = m \frac{{v}^{2 } }{r }$

F dice que es atractica por eso la puse con signo positivo

$-\frac{k}{{r}^{2 } } = m\frac{{v}^{2 } }{r }$

como veran si despejo v no llego a lo que me dice el enunciado porque llego a algo negativo.....donde meti la pata? :P

[arivasm]

Re: energia mecanica y fuerza atractiva

Es el problema de siempre, de los signos negativos en los módulos. En realidad el problema debió haber sido enunciado así: "Una particula se mueve bajo accion de una fuerza atractiva $F=\frac{K}{r^2}$ , donde r es la distancia de la particula al centro de fuerza" o bien, por ejemplo, "Una particula se mueve bajo accion de una fuerza atractiva $\vec F=-\frac{K}{r^2}\vec u_r$ , donde r es la distancia de la particula al centro de fuerza y $\vec u_r=\vec r/r$ un vector unitario tomado en sentido radial". En el primer caso se estará dando el módulo de la fuerza (positivo, como debe ser) y su sentido está implícito en la palabra 'atractiva'.

Por tanto, quítale el sigo menos a la última expresión que has escrito y estará correcta.

Por cierto, además de la energía cinética necesitarás encontrar la energía potencial correspondiente a la fuerza. Quizá eso merecerá un nuevo comentario (o no). De momento me lo reservo, en función de lo que necesites o vaya surgiendo en el hilo.

Saludos!

[LauraLopez]

Re: energia mecanica y fuerza atractiva

siempre me pasa lo mismo con los signos...y para la energia mecanica en realidad me paso lo mismo porque

${E}_{p } = -\int F dr$

si reemplazo a F por $F = -\frac{k}{ {r}^{2 } }$ me da bien porque termino llegando a

${E}_{p } = -\frac{k}{r }$ que sumandole la cinetica me da lo que dice el enunciado

Pero si reemplazaba a a F por $F = \frac{k}{ {r}^{2 } }$ no me da bien el resultado y esto ultimo es lo primero que intente hacer jajaa se ve que esa F no es el modulo no? como me doy cuenta si va con el menos o no? diga para otros casos..

[arivasm]

Re: energia mecanica y fuerza atractiva

La relación entre fuerza y energía potencial es $U=\int_P^R \vec F\cdot\dd \vec r$, donde la integral debe hacerse desde un punto genérico P hasta el que se tome como referencia R (es decir, como cero de $U$), a lo largo de un camino cualquiera que los conecte. El comentario al que me refería anteriormente tiene que ver con que en este ejercicio se usa como referencia el infinito (que es usual en gravitación -salvo cuando $g=\rm cte$-). Por tanto, imagínate un camino en línea recta y radial hacia el infinito desde un punto arbitrario. Los vectores $\vec F$ y $\vec \dd r$ formarán un ángulo de 180º, de manera que al hacer el producto escalar tienes que

$\dst U=-\int_r^\infty F \dd r=-K\int_r^\infty \frac{\dd r}{r^2}=\left. \frac{K}{r}\right|_r^\infty=-\frac{K}{r}$

Otro punto de vista es recurrir a una integral genérica $U=-\int \vec F \cdot \dd \vec r$ y luego determinar la constante de integración aplicando el que $U=0$ en el punto que se tome como referencia. En realidad es el mismo procedimiento, y el signo menos procede de haber invertido los límites de la integral. De esa manera, usando coordenadas esféricas, encontramos que $\dst U=-\frac{K}{r}+\rm cte$, y tenemos que al situar la referencia en el infinito la constante es 0.

[LauraLopez]

Re: energia mecanica y fuerza atractiva

No sabia eso.... yo uso:

$\int d{E}_{p } = - \int F dr$ donde los extremos de integracion para la energia potencial son de 0 a Ep y para la otra integral de 0 a r

${E}_{ p} = - \int F dr$ de 0 a r

Esto tambien es valido? o directamente esta mal y es como decis vos?

[arivasm]

Re: energia mecanica y fuerza atractiva

Está mal, pues te falta el producto escalar (y el manejo de los vectores) y que los límites no son de 0 a r sino que es una integral genérica (es decir, con $\dd \vec r=(\dd x,\dd y,\dd z)$ o su equivalente en otras coordenadas), o bien los límites son desde la situación que se tome como referencia y un punto genérico (o hacer la integral como si fuese no definida y determinar la constante al aplicar que $U=0$ para la situación que se tome como referencia).

[LauraLopez]

Re: energia mecanica y fuerza atractiva

gracias!!!