Otras carreras casquete y balanza

[LauraLopez]

Hola!!

alguna ayuda? primero cual seria la opcion correcta? para mi ninguna jaja y debo estar equivocada pero lo que yo entiendo es que el cuerpo SIEMPRE tiene que estar en contacto asi que SIEMPRE tiene que haber una normal distinta de cero y ninguna de las opciones me dice esto....

y luego alguna ayuda para encarar el inciso a y b

Gracias

[arivasm]

Re: casquete y balanza

La respuesta correcta es la 1ª, que la componente normal de la fuerza de contacto sea nula en la parte inferior.

Aunque es intuitivo, trataré de dar una razón cuantitativa: Al aplicar la 2ª ley tenemos que $\dst N+F_{el}\cos\theta-mg\cos 2\theta=m\frac{v^2}{R}$, donde llamo $\theta$ al ángulo que forma la cuerda con la vertical. Entonces,

$\dst N=m\frac{v^2}{R}-F_{el}\cos\theta+mg\cos 2\theta$

es decir

$$\dst N=m\frac{v^2}{R}-kR(2\cos\theta-\sqrt{2})\cos\theta+mg\cos 2\theta$$

Si aplicamos la conservación de la energía

$\dst\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kR^2(2\cos\theta-\sqrt{2})^2-mgR\cos 2\theta=0$

(1) podemos escribirlo, después de un par de manipulaciones (y si no me he equivocado!)

$N=3 mg\cos 2\theta-kR(6\cos^2\theta-5\sqrt{2}\cos\theta+2)$

de esta manera, la condición de que haya contacto con la superficie en todo punto, es decir que $N(\theta)\geq 0$ equivale a que

$$\dst \frac{mg}{kR}\geq\frac{6\cos^2\theta-5\sqrt{2}\cos\theta+2}{6\cos^2\theta-3}$$

Esta función es más fácil de manipular si llamamos $x=\cos\theta$, pues pasa a ser

$\dst \frac{mg}{kR}\geq\frac{6x^2-5\sqrt{2}x+2}{6x^2-3}=1-\frac{5}{3}\frac{\sqrt{2}x-1}{2x^2-1}$

Es sencillo ver que se trata de una función que para $x>0$ es monótona creciente, con una asíntota vertical en $x=0$ (valor que no se alcanza en nuestro caso, puesto que toma valores entre $1/\sqrt{2}$ y 1) y una raíz en $x=\sqrt{2}/3$, es decir, para [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , por lo que tampoco entra en nuestro intervalo.

En definitiva, el lado derecho de (2) aumenta monótonamente, siendo su máximo el valor correspondiente para $x=1$, es decir

$\dst \frac{mg}{kR}\geq\frac{8-5\sqrt{2}}{3}=0,3096$

Por último, con respecto a la fuerza que señalará la balanza será igual al valor que corresponda a la normal en dicho punto (si fuese otro no sería exactamente así, sino la componente vertical de la normal). Por supuesto, en el caso a) la respuesta será 0.

[LauraLopez]

Re: casquete y balanza

Gracias tengo algunas dudas con los incisos a y b..

A)
Cuando el cuerpo este en la parte inferior del casquete tendre que:

La sumatoria de las fuerzas en la direccion tangencial sera cero con lo cual la aceleracion tangencial es cero

${a}_{t } = 0$

Y la sumatoria de las fuerzas en la direccion normal sera:

$N + {f}_{ e} - mg = m {a}_{n }$

Como me dice que se da la condicion de masa minima entones N= 0

${f}_{ e} - mg = m {a}_{n }$

$k({L}_{f } - {L}_{0 } ) - mg = m {a}_{n }$

del dibujo veo que ${L}_{f } = 2R$ y ${L}_{0 } = \sqrt{2} R$ entonces

${a}_{n } = \frac{k(2R - \sqrt{2}R )}{m }$

Te parece que esta bien la manera de encontrar la aceleracion normal y tangencial??

y con respecto a la lectura de la balanza no sera M ? donde M es la masa del casquete?

C)
Si $m = 2{m}_{min }$ entonces $K(2R - \sqrt{2}R ) + N - 2m = 2m{a}_{n }$

$N = 2m{a}_{n } + 2m - K(2R - \sqrt{2}R )$

Entonces la lectura de la balanza sera M + N

Esta bien?

[arivasm]

Re: casquete y balanza

Te parece que esta bien la manera de encontrar la aceleracion normal y tangencial??

Perfecto. Pero recuerda que tu objetivo es la masa, no la aceleración, que debes encontrar al tener en cuenta que es $v^2/R$ y la conservación de la energía.

y con respecto a la lectura de la balanza no sera M ? donde M es la masa del casquete?

Ciertamente olvidé que el casquete tiene masa. La balanza marcará $Mg$ más la componente vertical de N. En a) sólo Mg.

C)
Si $m = 2{m}_{min }$ entonces $K(2R - \sqrt{2}R ) + N - 2m = 2m{a}_{n }$

$N = 2m{a}_{n } + 2m - K(2R - \sqrt{2}R )$

Entonces la lectura de la balanza sera M + N

Esta bien?

Comenzaré corrigiendo el final. Como antes, será $Mg+N$. En segundo lugar, ten en cuenta que la aceleración normal no será la misma de antes (pues hay un término energético que depende de k y los demás de m).

[LauraLopez]

Re: casquete y balanza

[QUOTE=arivasm;100673]Perfecto. Pero recuerda que tu objetivo es la masa, no la aceleración, que debes encontrar al tener en cuenta que es $v^2/R$ y la conservación de la energía.]

Me pregunta sobre la aceleracion , no sobre la masa....porque decis que el objetivo es la masa? y que cosa debo encontrar teniendo eso en cuenta?

[LauraLopez]

Re: casquete y balanza

no me sale lo de citar jajaa

[LauraLopez]

Re: casquete y balanza

la expresion que doy como resultado para la aceleracion no es correcta entonces?

[arivasm]

Re: casquete y balanza

Me pregunta sobre la aceleracion , no sobre la masa....porque decis que el objetivo es la masa? y que cosa debo encontrar teniendo eso en cuenta?

Sí, tienes razón, pero necesitas la masa para poder calcular la aceleración centrípeta.

no me sale lo de citar jajaa

La cita debe ir entre [QUOTE] y [/QUOTE] . Lo que te sucedió antes es que borraste parte de la marca final.

la expresion que doy como resultado para la aceleracion no es correcta entonces?

Es correcta, pero si conoces el valor de la masa.

[LauraLopez]

Re: casquete y balanza

ahhh bueno si eso si vos decis que reemplaza m por la expresion de la masa minima no? igual me va a quedar expresada en funcio de K y R

y para el inciso C?? porque tengo la incognita de la normal y la de la aceleracion aca....

[arivasm]

Re: casquete y balanza

Tanto para el b) como para el c) puedes obtener la aceleración centrípeta con la conservación de la energía, pues $v^2/R$ se encuentra a partir de la energía cinética: $2mK/R$.

[LauraLopez]

Re: casquete y balanza

borre este comentario porque era una pregunta que luego soluciones

[LauraLopez]

Re: casquete y balanza

Para que me quede mas claro

B)

${a}_{t } = 0$

${a}_{n } = \frac{k(2R - \sqrt{2}R )}{m }$

donde m es la masa minima y la expresion para la masa minima que encontre es : $m = 0,31 \frac{KR}{ g}$ ( mas abajo te muestro como encontre esta expresion haber si esta bien)

Reemplazo en la formula anterior y entonces se me cancelan los KR y tengo

${a}_{n } = \frac{(2 - \sqrt{2}) g}{0,31 } - g = 8,727$

y la lectura de la balanza es Mg

Es correcta la resolucion de este iniciso?

MASA MINIMA:

En el punto mas bajo que llamo punto B entonces tenemos que la normal es cero asi que por newton

$K(2R - \sqrt{2}R ) - mg = m\frac{{{v}_{b } }^{ 2} }{R }$

$K{R}^{2 } (2 - \sqrt{2}) - mgR = m{{v}_{b } }^{ 2}$



Ademas por conservacion de la energia tengo que :

${E}_{Mb } = {E}_{M0 }$

$\frac{1}{2 }K {(2R - \sqrt{2}R)}^{2 } + \frac{1}{2 }m{{v}_{b } }^{2 } = mgR$

Reemplazando con lo anterior aca tengo que :

$\frac{1}{2 }K {(2R - \sqrt{2}R)}^{2 } + \frac{1}{2 }( K{R}^{2 } (2 - \sqrt{2}) - mgR ) = mgR$

y de aca es que despejando si no hice nada mal llego a $m = 0,31\frac{KR}{ g}$

Y esta seria la masa minima porque tome la normal igual a cero en este punto...

C)

Aca encuentro una expresion para la normal asi que seria como lo que tenia antes pero sin tener N=0 o sea

$K(2R - \sqrt{2}R ) + N -mg = m{a}_{n } = m\frac{{{v}_{b } }^{2 } }{R }$

$m{{v}_{b } }^{2 } = K{R}^{2 } (2 -\sqrt{2} ) + NR - mgR$

Por otro lado por conservacion de la energia teniamos que:

$\frac{1}{2 }K{R}^{2 } {( 2 - \sqrt{2} )}^{2 } + \frac{1}{2 }m{{v}_{b } }^{2 } = mgR$

$m{{v}_{b } }^{2 } = 2mgR - K{R}^{2 } {(2 - \sqrt{2} )}^{2 }$

Reemplazo esto en la expresion anterior y despejo N

$N = 3mg - KR {( 2 - \sqrt{2} )}^{2 } - KR (2 - \sqrt{2} )$

y reemplazo m por 2 veces la masa minima o sea ahora m es $m= 2(0,31\frac{KR}{g } ) = 0,62\frac{KR}{g }$

y me queda:

$N = 0,931 KR$

Finalmente entonces este inciso me pregunta la lectura de la balanza la cual sera Mg + N = Mg + 0,931 KR

Te parece que los resolvi bien? tanto el inciso a como el b? y la forma de encontrar la masa minima????
En el c me queda la normal en funcion de K y R pero creo que no se puede obtener un valor numerico...
Bueno espero tu opinion

[arivasm]

Re: casquete y balanza

No veo errores en nada de lo que has escrito. Además, habrás visto que la masa mínima que encuentras es la misma que encontré yo.