resorte hooke

[arivasm]

Re: resorte hooke

$-ky -mg = ma$
$-k( x - \frac{mg}{ k} ) = ma$

Te has "comido" el peso, que estaba correctamente puesto en la primera de las dos expresiones. La segunda debería ser así: $-k( x - \frac{mg}{ k} )-mg=-kx = ma$. Es interesante observar que esto implica que la gravedad sólo desplaza el punto de equilibrio.

De todos modos, sospecho que pueda ser un error de transcripción, pues la expresión final es la correcta.

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

A ver si lo hice bien...

$x = y - y_0$ entonces $y = x + y_o$

Tomo positivo hacia arriba asi que$y_0 = - \frac{mg}{k }$

Entonces $y = x - \frac{mg}{k }$

Entonces tengo
$-ky -mg = ma$

$-k( x - \frac{mg}{ k} ) = ma$

Resolviendo como antes llego a


$\dst \int_0^v v dv = -\frac{1}{m } \int_\frac{mg}{k } ^x -(\frac{k}{m }x ) dx$

Despejando llego a:

$v(x) = \sqrt{-\frac{k}{m } {x}^{2 } + \frac{m{g}^{2 }}{ k} }$

y esta seria la velocidad que me pide el enunciado o sea respecto de la posicion de equilibrio, esta bien?

[arivasm]

Re: resorte hooke

No estaría mal. De hecho es un camino cómodo, pues una vez que tengas el resultado haces el cambio de variable. La alternativa es usar x directamente (es decir, hacer el cambio antes de la integral). No te digo cómo para dejarte el problema para ti.

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

Entonces esta mal esto:

$\dst \int_0^v v dv = -\frac{1}{m } \int_0^y (ky + mg) dy$

Porque como me dijiste el enunciado pide V(x) y no V(y) con esto de integrales estaria encontrando V(y)....

Asi que tendria que hacer el cambio de variable y ver de encontrar que extremos de integracion usar...ahora intento hacerlo y te consulto
Gracias

[arivasm]

Re: resorte hooke

Sobre la posición de equilibrio. Como te dije en el post #32, se trata de expresar la velocidad en función de $x$:

$\dst v(x)=\omega\sqrt{A^2-x^2}=\sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^2-x^2}=\sqrt{\frac{mg^2}{k}-\frac{k}{m}x^2}$

Puedes usar el método de las funciones trigonométricas, o hacer el cambio de variable en $v(y)$, o incluso directamente con la conservación de la energía:

$\dst\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}k\left(\frac{mg}{k}-x\right)^2+mgx=\frac{m^2g^2}{k}$

(aquí tomé, por comodidad el cero de la energía potencial gravitatoria en la posición de equilibrio y usé que la velocidad es nula en $x=mg/k$).

Sobre la cuestión de los límites de integración: uno de ellos tiene que ser un punto genérico y el otro uno de valores conocidos. Como haces la pregunta manejando $y$ te responderá con esta variable: si usas para ese último punto el hecho de que $v=0$ si $y=0$ tienes que

$\dst \int_0^v v dv = -\frac{1}{m } \int_0^y (ky + mg) dy$

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

Haber...lo segui pensando un rato mas y me parece que mi problema es que no entiendo la consigna... Lo que me pide es una expresion para la deformacion del resorte respecto de la posicion de equilibrio , entonces esta ultima parte es la que me genera dudas... que significa "respecto de la posicion de equilibrio"?

Yo entiendo que la posicion de equilibrio es el punto $y_0=-mg/k$

Entonces tengo que encontrar una epresion de la velocidad en funcion de ese punto.

La solucion que vos me das es en funcion de la posicion de equilibrio? de ser asi como me doy cuenta que es en funcion de ese punto?

Ya entendi como a partir de $\dst y=\frac{mg}{k}\left[\cos(\omega t)-1\right]$ lograr llegar a una expresion para V que segun tu metodo llegaria a:


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Pero mi duda es si esa expresion esta en funcion de la posicion de equilibro o si esta en funcion de la posicion inicial y=0.

En caso de estar en funcion de la posicion de equilibrio me gustaria saber porque es asi? porque no lo veo o si esta en funcion de y=0 que es lo que me parece como se haria para dejarlo en funcion de la posicion de equilibrio.

Por otro lado con mi metodo deberia llegar al mismo resultado, el problema lo tengo a la hora de definir los extremos de integracion.

$\int v dv = -\frac{1}{m } \int (ky + mg) dy$


Si a la expresion que yo llegue la integro entre$v_0= 0$ y v y del otro lado entre y=0 e y
obtengo tu mismo resultado pero me pareceria que esta mal porque estaria encontrando una expresion de la deformacion en funcion de la posicion y=0 y no en funcion de ${y}_{0 } = - \frac{mg}{k }$

Entonces aca la duda vuelve a ser cuales serian los extremos de integracion correctos para dejarla expresada en funcion de la posicion de equilibrio?
para mi la y deberia integrarla (como hice) entre ${y}_{0 } = - \frac{mg}{k }$ e y
el error lo cometi al integrar la v entre v=0 y v porque seria entre el valor de la velocidad en el punto de equilibrio y v pero nose cuanto vale la velocidad en dicho punto...

PD: perdon por lo pesada.....

[arivasm]

Re: resorte hooke

Sí, $y_0=-mg/k$ es la posición de equilibrio, que no será 0.

He mirado con algo más de detenimiento la expresión que escribes para $v(y)$ y encuentro que no es correcta (no da el valor correcto para la energía). Seguramente es porque no has determinado correctamente la constante de integración (debes hacer v=0 para y=0).

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

pareciera como que tengo que usar y0= 0 pero para mi eso esta mal porque es la posicion de equilibrio no la posicion inicial no?

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

tenes razon que distraida...pero entonces tenog un error en mi metodo? no veo que hice mal....

[arivasm]

Re: resorte hooke

de donde obtenes esto?

$\dst \sin (wt ) = -\frac{k v}{mgw}$

$\dst \cos(\omega t)=\frac{ky}{mg}+1$

Tú misma lo has escrito en un post anterior:

Sin embargo me gustaria llegar con tu metodo al mismo resultado.... pero si tengo:

$\dst y=\frac{mg}{k}\left[\cos(\omega t)-1\right]$

derivo y obtengo la velocidad pero me aparece un seno... y lo tengo en funcion del tiempo como llevo esto a la forma de mi solucion para comparar que por ambos metodos llego a lo mismo?

$v(t) = - \frac{mgw}{k } \sin (wt )$

Se trata de despejar de ellas el seno y el coseno.

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

creo que lo que hice antes esta mal no veo que se parezca a la solucion que podria llegar con tu metodo aunque sigon sin enteder como llegar, encontras el error?

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

de donde obtenes esto?

$\dst \sin (wt ) = -\frac{k v}{mgw}$

$\dst \cos(\omega t)=\frac{ky}{mg}+1$

Igual sigo sin ver como de esto : $v(t) = - \frac{mgw}{k } \sin (wt )$

puedo llegar a esto: $V(y) = \sqrt{y(-\frac{k}{m }y - 2g ) - \frac{m{g}^{2 } }{k } }<br />$

para saber si esto ultimo esta bien....



Yo lo que tengo es esto n omas :


$\dst y=\frac{mg}{k}\left[\cos(\omega t)-1\right]$

las demas ecuaciones no veo de donde las obtenes

[arivasm]

Re: resorte hooke

Despejamos las funciones trigonométricas:

$\dst \sin (wt ) = -\frac{k v}{mgw}$
$\dst \cos(\omega t)=\frac{ky}{mg}+1$

Usamos que la suma de sus cuadrados es 1:

$1=\dst \left(\frac{k v}{mgw}\right)^2+\left(\frac{ky}{mg}+1 \right)^2$

Como $w^2=k/m$

$\dst 1=\frac{k v^2}{mg^2}+\left(\frac{ky}{mg}+1 \right)^2$

Es decir

$0=\dst \frac{k v^2}{mg^2}+\left(\frac{ky}{mg}+1 \right)^2-1=\frac{k v^2}{mg^2}+\left(\frac{ky}{mg}\right)^2+2\frac{ky}{mg}$

que es precisamente la conservación de la energía:

$\dst v^2+\frac{ky^2}{m}+2gy=0$

pues equivale a

$\dst \frac{1}{2}m v^2+\frac{1}{2}{ky^2}+mgy=0$

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

Entonces la respuesta que encontre es correcta y esta expresada en funcion de la posicion de equilibrio no?


$V(y) = \sqrt{y(-\frac{k}{m }y - 2g ) - \frac{m{g}^{2 } }{k } }$

Sin embargo me gustaria llegar con tu metodo al mismo resultado.... pero si tengo:

$\dst y=\frac{mg}{k}\left[\cos(\omega t)-1\right]$

derivo y obtengo la velocidad pero me aparece un seno... y lo tengo en funcion del tiempo como llevo esto a la forma de mi solucion para comparar que por ambos metodos llego a lo mismo?

$v(t) = - \frac{mgw}{k } \sin (wt )$

[arivasm]

Re: resorte hooke

Antes de nada, en mi post anterior había un error que he corregido. La expresión para la relación entre $v$ y $x$ es $v=\omega\sqrt{A^2-x^2}$.

cual es la expresion para y? en esta formula tengo que poner y? $x(t) = A \sin (\omega t + \phi )$

Tomando positivo hacia arriba, la posición de equilibrio es $y_0=-mg/k$. Como $x=y-y_0=A\sin(\omega t+\phi)$, tienes que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Podemos adelantar lo que ya comentamos antes de que $A=mg/k$ y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , de manera que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Por cierto que si usamos que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , la expresión anterior queda algo más corta: $\dst y=\frac{mg}{k}\left[\cos(\omega t)-1\right]$

Lo que me decis que haga pro conservacion de la energia es un punto dado con respecto a la posicion inicial? pasa que inicialmente hay energis 0 y despues al empezar a moverse si hay energia o sea hubo un aumento de la energia luego si mientras oscila se converva, pero no estaria mal plantear conservacion entre un punto inicial de energia cero y otro punto donde si hay energia distinta de cero?

Sólo hay una elección de puntos en las energías potenciales. En el caso de la elástica, la forma más sencilla pasa por tomar el cero en el punto en el que el resorte posee su longitud natural y de ahí que $U_{el}=\frac{1}{2}ky^2$. En el caso de la energía potencial gravitatoria, el cero de altura se toma en cualquier lugar que se desee. Yo opté por el punto $y=0$. Como tomaste positivo hacia arriba las $y$ serán alturas, de manera que $U_g = mgh=mgy$. La energía mecánica es entonces, $E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}ky^2+mgy$.

Para encontrar el valor de $E$ aplico la expresión anterior a una $y$ en la que conozca la velocidad. En particular, sé que si $y=0$ es $v=0$, y de ahí es de donde obtengo que con las dos elecciones anteriores será $E=0$ y que entonces en todos los puntos $\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}ky^2+mgy=0$.

El enunciado me pide la velocidad de la masa en funcion de la deformacion del resorte respecto de la posicion de equilibrio.... como abaro esta parte de que sea "respecto de la poscion de equilibrio"? por eso lo habia hecho como te mostre porque despues reemplazaba y0 por el valor de la posicion de equilibrio...

Sí, no me di cuenta de ese detalle. La deformación con respecto de la posición de equilibrio es directamente la $x$. Es decir, se trata de demostrar que

$\dst v=\omega\sqrt{A^2-x^2}=\sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^2-x^2}=\sqrt{\frac{mg^2}{k}-\left(\frac{kx}{m}\right)^2}$

Que es lo que esta mal en mi metodo? te detallo mejor el segundo paso...

Tenia:

POSITIVO HACIA ARRIBA

$-ky - mg = ma = m\dst\frac{\dd v}{\dd t} = m \dst\frac{\dd v}{\dd t}\dst\frac{\dd y}{\dd y } = m \dst\frac{\dd y}{\dd t}\dst\frac{\dd v}{\dd y}= m v \dst\frac{\dd v}{\dd y}$

$\frac{( -ky -mg )}{ m} dy = v dv$


$\int v dv = -\frac{1}{m } \int (ky + mg) dy$

y aca sigo como te mostre antes...

Pero bueno veo qu eno llego a lo mismo que llegaria si planteo lo de conservacion de la energia que ya me diras porque esta bien plantear eso y mas que nada esto de que este en funcion de yo ( la posicion de equilibrio)

Sí, tienes razón, lo he mirado con más calma y es correcto. De hecho es la conservación de la energía, pues encuentras que $\frac{1}{2}mv^2 = -\frac{1}{2}ky^2 - mgy + \rm cte$, es decir, $\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}ky^2 + mgy = \rm cte$.