Otras carreras pendulo

[LauraLopez]

A)

Aca usando los ejers radial y transversal proyecto sobre el eje transversal y tengo

$-mg \sin \theta = m{a}_{\theta }= m(l \gamma )$

donde llamo $\gamma$ a la aceleracion angular.

reemplazo $\sin \theta =\theta$

$-g\theta = (l \gamma )= l \frac{\dd {\theta }^{2 } }{\dd {t}^{ 2} }$

Entonces la ecuacion diferencial es:

$\frac{\dd {\theta }^{2 } }{\dd {t}^{ 2} } + \frac{g}{ l} \theta = 0$

Esta bien este inciso?

B) Aca nose bien cual es la solucion a la ecuacion diferencial que encontre antes porque deberia ser asi:

$\theta = A \sin (wt + \phi )$


Pero aca el enunciado me pide S(t) o sea que seria como un X(t) no? pero yo tengo un tita de t.... como hago?

[arivasm]

Re: pendulo

Lo que has escrito está bien. Con respecto a $s(t)$ es la longitud de un arco de circunferencia, luego $s(t)=l\theta(t)$

[LauraLopez]

Re: pendulo

Entonces el inciso A ya estaria : $\frac{\dd {\theta }^{2 } }{\dd {t}^{ 2} } + \frac{g}{ l} \theta = 0$

Para el B

La solucion a la ecuacion diferencial que encontre en el inciso a es:

$\theta(t) = A \sin (wt + \phi )$

Pero como me pide S(t) y sabiendo que $s(t)=l\theta(t)$

Reemplazando tengo:

$s(t)= l A \sin (wt + \phi )$

$v(t) = l A w \cos (wt + \phi )$

$a(t) = -l A {w}^{2 } \sin (wt + \phi )$

Creo que ahi estaria bien el inciso b

C)

De la ecuacion diferencial veo que :

$\frac{\dd {\theta }^{2 } }{\dd {t}^{ 2} } + \frac{g}{ l} \theta = 0$

donde ${w}^{2 } = \frac{g}{ l}$

Entonces $T = \frac{2\pi }{ w} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{ g} }$

y la frecuencia es : $f= \frac{\sqrt{\frac{g}{ l} } }{2 \pi }$

D)

Proyectando en la direccion radial tengo:

$mg\cos\theta -T = -m l {w}^{ 2}$

Aca puedo usar lo que dice el enunciado sobre el reemplazo de $\cos \theta$

y despejo T

$T = mg (1 - \frac{{\theta }^{ 2} }{2 } ) + m l {w}^{2 }$

donde w es la velocidad angular...

Aca como sigo? porque necesitaria encontrar una expresion para w

E)

Aca necesito encontrar una expresion para la velocidad y la aceleracion en funcion del angulo....como puedo hacer?

[arivasm]

Re: pendulo

Te aconsejo que no uses $w$ para denotar dos cosas, pues por una parte llamas así a la frecuencia angular de la oscilación y por otra también llamas así a la velocidad angular. Puedes evitarlo empleando $a_c=v^2/l$. Y hablando de notaciones, recuerda que estás llamando $A$ a la amplitud de $\theta$, es decir, el valor más alto que toma el ángulo. Yo te recomendaría que uses otra letra, por ejemplo, $\theta_{max}$.

Para relacionar la velocidad con el ángulo usa la conservación de la energía.

[LauraLopez]

Re: pendulo

Mas alla del mal uso de variables los incisos b y c estan bien? o sea reemplazo A por $\theta_{max}$

D) Como uso la conservacion de la energia aca?

Tengo


$T = mg (1 - \frac{{\theta }^{ 2} }{2 } ) + m l {\gamma }^{2 }$

Le llamo entonces $\gamma$ a la velocidad angular.

A su vez $\gamma = \frac{v}{l }$

Reemplazando tengo:

$T = mg (1 - \frac{{\theta }^{ 2} }{2 } ) + m \frac{{v}^{2 } }{l }$

Ahora deberia encontrar una expresion para la velocidad en funcion de tita no?

La energia mecanica estara dada por una enegia potencial mas una cinetica no veo como relacionar esto con el angulo...ademas se supone que el pendulo se desplaza un pequeño angulo no mas no? Tengo que tomar 2 puntos muy proximos de energia? de ser asi tendria

${E}_{Ma } = mgh_a + \frac{1}{2 }m{v_a}^{2 }$

${E}_{Mb } = mgh_b + \frac{1}{2 }m{v_b}^{2 }$

y no veo como llegar con esto...

Si podes explicame como decis que seria esa forma para llegar a la expresion de V en funcion de el angulo
Lo hice de otra forma haber si te parece que esta bien....

Tenia:

$T = mg (1 - \frac{{\theta }^{ 2} }{2 } ) + m l {\gamma }^{2 }$

Le llamo entonces $\gamma$ a la velocidad angular.


Del inciso a) se que $\frac{\dd {\theta }^{2 } }{ {t}^{2 } } = -\frac{g}{ l} \theta$

Entonces $-\frac{g}{ l} \theta = \frac{\dd {\gamma } }{\dd {t} } \frac{\dd {\theta } }{\dd {\theta} } = \gamma \frac{\dd \gamma }{\dd \theta }$

Entonces

$\int \gamma \dd \gamma = \int -\frac{g}{ l} \theta \dd \theta$

Usando $\theta =0$ y $\gamma = 0$ en los extremos de integracion inferiores llego a:

${\gamma }^{ 2} = -\frac{g}{l }\theta$

Reemplazo esto en la ecuacion que tenia antes y llego a:

$T = mg (1 - \frac{{\theta }^{ 2} }{2 } ) - m g {\theta }^{2 }$

De aca observo que la tension es maxima cuando tita es igual a cero entonces

${T}_{max } = mg$

Te parece que este bien?

E)
Me pregunta para que angulo la velocidad es maxima , entonces por conservacion de la energia puedo decir que la energia mecanica en el punto mas bajo cuando el angulo es cero sea solo energia cinetica con lo cual en este punto es donde tendre la maxima velocidad asi que la vel es maxima para tita igual cero, esta bien decirlo asi?

Y para la aceleracion maxima como puedo hacer?

[arivasm]

Re: pendulo

Buff. Me lía la substitución tan pronto del coseno (que, por cierto, veo innecesaria -ya sé que lo dice el enunciado!-).

Para la conservación de la energía, si se toma el 0 de altura en el punto de equilibrio, tenemos que para un ángulo $\theta$ la altura es $h=l-l\cos\theta$. De esta manera, $\frac{1}{2}v^2-gl\cos\theta=-gl\cos\theta_{max}$.

Sobre la tensión, comienzas bien, $T=mg\cos\theta+mv^2/l$. Por cierto, es mejor manejar $v^2/l$, pues aparecerá inmediatamente a partir de la conservación de la energía, sin necesidad de meterse con las integrales que indicas, que además están basadas en aproximaciones que, como verás, no son necesarias. El resultado final, de que $T_{max}=mg$ es claramente incorrecto (aunque sí será cierto que el máximo corresponderá a $\theta=0$), pues implicaría una aceleración nula!.

[arivasm]

Re: pendulo

Olvidaba tu pregunta sobre la aceleración máxima: por una parte tenemos que $a_t=g\sin\theta$, por otra $a_c=v^2/l$. Usa la conservación de la energía para esta última cantidad y optimiza el cuadrado del módulo de la aceleración, $a^2=a_t^2+a_c^2$

[LauraLopez]

Re: pendulo

de donde sale esto?? no entendi... $\frac{1}{2}v^2-gl\cos\theta=-gl\cos\theta_{max}$

Se ve que mi metodo esta mal asi que intentare hacerlo por conservacion de la energia

Tendria que la energia mecanica en un punto dado por ejemplo en A sera:

${E}_{Ma } = \frac{1}{2 } m{{v}_{a } }^{2 } + mg (l - l\cos \theta )$

Y esto a que lo igualo? como aparece el tita maximo? y ademas tengo que encontrar una V generica no la velocidad en ese punto A por ejemplo

[arivasm]

Re: pendulo

Sale de $\frac{1}{2}mv^2+mgh=mgh_{max}$ y usar $h=l-l\cos\theta$. Sobre el valor de $E_M$ usa que $v=0$ si $\theta=\theta_{max}$. El $\theta_{max}$ es el ángulo que corresponde al punto de retroceso, es decir, la amplitud de la oscilación, $\dst\theta=\theta_{max}\cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}t}+\phi\right)$, o si lo prefieres el ángulo máximo que forma el péndulo con la vertical.

[LauraLopez]

Re: pendulo

ese tita maximo entonces no es 90 grados?

En el punto de altura maxima tengo que la energia mecanica es mgl

y una expresion generica para la energia mecanica es:

$\frac{1}{2}mv^2+mg( l - l\cos \theta )$

Igualo y despejo V y tengo

${v}^{ 2} = 2gl\cos \theta$

Reemplazo esto en la expresion que tenia de la tension y tengo que:

$T = 3mg\cos \theta$

Entonces esta expresion tendra su valor maximo cuando el coseno de tita tengo su valor maxomo ( o sea valor 1) y esto ocure para tita = 0

${T}_{max } = 3mg$

esta bien?

[LauraLopez]

Re: pendulo

ahh y los incios b y c los encontras bien?

E)
para la aceleracion la expresion para la normal es :

${a}_{n } = \frac{{v}^{2 } }{l } = \frac{2gl\cos \theta }{ l} = 2g\cos \theta$

eso me decias que use?

Entonces tengo que $a= g\sqrt{{\sin\theta }^{2 } + 4{\cos \theta }^{2 } }$

esa es la expresion a la que tengo que llegar?

Aca la aceleracion sera maxima cuando el coseno sea maximo o sea para tita =0 no? o sea el mismo angulo que en el caso de la velocidad maxima

[arivasm]

Re: pendulo

Sobre los incisos b) y c): están bien, pero acabo de observar que hay un pequeño error de notación, pues la aceleración que calculas derivando el módulo de la velocidad es la aceleración tangencial, que es lo que te piden en el enunciado.

Con respecto a lo que has escrito, no veo correcta la expresión para $v^2/l$, pues debería ser igual a $gl(\cos\theta_{max}-\cos\theta)$.

Añado: no había visto tu penúltimo mensaje. $\theta_{max}$ no tiene por qué ser 90º (es decir, el péndulo no tiene por qué oscilar desde la posición horizontal). De hecho, si fuese así no podríamos hacer la substitución $\sin\theta\approx\theta$, que sólo es válida para ángulos pequeños.

[LauraLopez]

Re: pendulo

en el inciso b que es lo que esta mal entonces? que tengo que arreglar de la notacion?

el inciso d y e entonces tambien estan mal?

Cual es el error? no lo veo....

esta mal la forma en que iguale las energias? o sea iguale la energia en un punto cualquiera con la energia que tendria en un punto de velocidad cero que searia el punto donde tita =90 y entonces la altura sera la maxima que es l.... es necesario que me aparecezca el tita max en mi ecuacion? porque no lo use antes no entiendo de donde sale ese valor y porque hay q usarlo

[LauraLopez]

Re: pendulo

Me parece que lo que esta mal es asumir que el punto donde la velociada es cero es en tita = 90 porque como son pequeñas oscilaciones nunca llegaria a un angulo tan grende no?

Haber si asi lo hice bien ahora

Tenia:


$T = mg \cos \theta+ m \frac{{v}^{2 } }{l }$

Luego por conservacion de la energia tengo que :

$\frac{1}{2 } m{v }^{2 } + mgh = mg{h}_{max }$

donde$h = (l - l\cos \theta )$

y ${h}_{max } = (l - l\cos {\theta }_{max } )$

El punto ${h}_{max }$ corresponde a V=0 y angulo tita max

reemplazando esto en la ecuacion anterior y despjeando v llego a :

${v}^{2 } = 2gl (\cos \theta - \cos {\theta }_{max })$

Reemplazando esto en la ecuacion de la tension tengo:

$T = 3mg \cos \theta - 2mg\cos {\theta }_{max }$

asi esta bien?

De aca el valor maximo de la tension cual seria? seria cuando tita igual cero? y entonces

${T}_{max } = 3mg - 2mg \cos {\theta }_{max }$

En caso de que esto este bien el metodo de como resolvi lo de la aceleracion es correcto? reemplazando ahora la velocidad por la nueva expresion que encontre si es que esta bien

[arivasm]

Re: pendulo

Correcto!