pendulo

[LauraLopez]

Re: pendulo

del inciso b que tengo que cambiar de la notacion que no entendi?

E)

${a}_{t } = g\sin\theta$

${a}_{n } = 2g(\cos\theta - \cos {\theta }_{max } )$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

esta bien la expresion para la aceleracion?
De aca como veo el agulo para el cual la aceleracion es maxima??

[arivasm]

Re: pendulo

Falta un cuadrado en el coseno (pero apuesto que es un error de transcripción):

$a = g \sqrt{\sin^2\theta+ 4\cos^2\theta- 8\cos \theta\cos\theta_{max}+4\cos^2\theta_{max}}$

es decir

$a = g \sqrt{1+ 3\cos^2\theta- 8\cos \theta\cos\theta_{max}+4\cos^2\theta_{max}}$

Como el objetivo es encontrar el ángulo de la aceleración máxima, te aconsejo que no recurras a derivar esta expresión con respecto a $\theta$, sino que optimices $f(x)=(a/g)^2$, siendo $x=\cos\theta$, es decir, encontrar el máximo de

$f(x)=1+3x^2-8x\cos\theta_{max}+4\cos^2\theta_max$

y después aplicar que $\theta=\arccos x$

Añado: lo que te decía del inciso b) es que no debes poner $a(t)=-l \theta_{max} {w}^{2 } \sin (wt + \phi )$, sino $a_t(t)=-l \theta_{max} {w}^{2 } \sin (wt + \phi )$

[LauraLopez]

Re: pendulo

Como encuentro el maximo de f(x) ??

Tengo:

$f`(x) =6x - 8x\cos\theta_{max}$

$f``(x) = 6$

no me acuerdo como se hacia...

No era cuando la derivada segunda era menor a cero? pero aca me da 6 o sea siempre positiva

el maximo de f(x) seria entonces el x tal que es el maximo en la aceleracion?

[arivasm]

Re: pendulo

Pones una $x$ de más en la derivada (de nuevo apuesto que es por transcripción): $f'(x) =6x - 8\cos\theta_{max}=0$, luego el extremo local de la función estará en $\cos\theta=x=\frac{4}{3}\cos\theta_{max}$. Pero, como bien dices,$f''(x)=6>0$, luego se trataría de un mínimo y nuestro objetivo son los máximos.

En consecuencia, como no hay máximos locales, hay que prestar atención a los valores de la función en los extremos del intervalo, que serán 1 (para $\theta=0$) y $\cos\theta_{max}$.

Como $f(\cos\theta_{max})=1$ y $f(1)=4-8\cos\theta_{max}+4\cos^2\theta_{max}=4(1-\cos\theta_{max})^2$, nos encontramos con que la respuesta dependerá de cuál sea el ángulo $\theta_{max}$.

El problema dice que las oscilaciones son de pequeña amplitud, de manera que $f(1)\approx \theta^4_{max}\to 0$. Por tanto, la respuesta será que la aceleración es máxima en los puntos de retroceso.



Edito: tal como señalará Laura más adelante, lo siguiente es incorrecto.

Ya puestos, permíteme que haga la comparación para el caso general. Es decir, la respuesta será "los puntos de retroceso" si $1>4(1-\cos\theta_{max})^2$, es decir, si $\cos\theta_{max}>\frac{\sqrt{3}}{2}$, es decir, si [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

En los demás casos la aceleración será máxima en el punto de equilibrio.

[LauraLopez]

Re: pendulo

no te comprendi del todo...

seria que como no encuntre un maximo tenog que analizar los extremos y estos serian para tita =0 y para el tita maximo no?

para tita maximo tengo

${f}_{cos{\theta }_{ max} } = 1 + 3{\cos{\theta }_{ max} }^{ 2} -8 {\cos{\theta }_{ max} }^{ 2} + 4 {\cos{\theta }_{ max} }^{2 } = 1 - {\cos{\theta }_{ max}}^{ 2}$

No llego a lo mismo que vos...

Igualmente se ve que $f(1) > f(\cos{\theta }_{ max})$

Con lo cual el maximo lo tengo para $\theta = 0$ no?

No entiendo porque decis esto: $f(1)\approx \theta^4_{max}\to 0$

o sea de donde sale el elevado a la cuarta? y para que hace falta seguir con ese analisis y lo que continuas diciendo... el angulo para el cual la aceleracion es maxina no seria nada mas $\theta = 0$ ya que la funcion en ese punto da su valor maximo

[arivasm]

Re: pendulo

Pues sí, tienes razón en que metí la pata, ya que $f(\cos\theta_{max})=\sin^2\theta$ y no 1. Por tanto, si esta vez no me he vuelto a equivocar, la comparación final debe ser ésta: la máxima aceleración será el punto de retroceso si $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta_{max}>4-8\cos\theta_{max}+4\cos^2\theta_{max}$, es decir, si $5\cos^2\theta_{max}-8\cos\theta_{max}+3<0$ lo que significa que $\cos\theta_{max}\in(\frac{3}{5},1)$, es decir [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Con $\theta^4_{max}\to 0$ quería decir que puesto que estamos considerando oscilaciones lo suficientemente pequeñas como para que el seno pueda substituirse por el ángulo, éste tiene que ser suficientemente próximo a 0, con lo que su cuarta potencia aún lo estará más.

[LauraLopez]

Re: pendulo

no entiendo porque hay que hacer este analisis.....

Porque esta mal lo que dije? si yo tengo una expresion para la aceleracion como tenia antes e funcion de tita y luego la exprese en funcion de x para que sea mas facil pero en definitiva tengo que encontrar el valor para el cual la misma es maxima porque esta mal reemplazar tita por cero ?

Luego de que me expliques porque no se puede hacer lo que yo digo tratare de entender tu forma de hacerlo....que significa cuando analice la funcion es los extremos?

porque se dice que " la maxima aceleracion sera el punto de retroceso si.." cual es el punto de retroceso? un punto de retroceso entiendo ques donde la velocidad es cero.

Ademas no entiendo porque si no se cumple esa condicioen el maximo es en el punto de equilibrio.... como pueden ser 2 posibles soluciones? si tengo que encontrar un angulo como respuesta

y lo de tita a la cuarta si entiendo que si tita es cero tita a la cuarta tambien pero si nunca tenes algo elevado a la cuarta? el porque del ejemplo? no entiendo en que me ayuda al analisis...

[arivasm]

Re: pendulo

No, no tienes por qué hacer el análisis general que hice yo. Lo hago simplemente porque me parece bonito y más interesante que el cálculo particular que indica el enunciado. Sólo pretendo destacar que no siempre será $\theta=0$ el lugar de máxima aceleración. Es más, si la amplitud angular es menor de 53º (y en este problema es así) la aceleración máxima será en los puntos de retroceso, es decir en $\theta=\theta_{max}$.

Lo de analizar la función en los extremos es un simple problema de matemáticas: la condición $f'=0$ sólo asegura máximos o mínimos locales, pero no los máximos o mínimos globales de una función. Este ejercicio es un ejemplo de ello.

Por cierto, échale un vistazo a esta animación: http://www.meet-physics.net/David-Ha...lumForces.html En ella dibujan en verde la fuerza resultante que, por supuesto, es proporcional a la aceleración. Verás que ésta no es máxima en el punto de equilibrio, sino en los de retroceso. La razón por la que hay dos soluciones es por simple simetría con respecto del punto de equilibrio.

Por último, lo de $\theta^4$ era porque al hacer la aproximación $\cos\theta\approx 1-\theta^2/2$, entonces (pero recordemos que está mal) $4(1-\cos\theta)^2\approx \theta^4$, nada más. En realidad, una vez corregido el error que encontraste, sería $1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\approx \theta^2$

[LauraLopez]

Re: pendulo

pasa que me confundo jajaja masomenos entiendo lo que decis pero haber para separar un poco las cosas porque sigo sin entender entonces cual es la respuesta que tengo que dar...

porque por un lado veo que la aceleracion maxima se tiene en $\theta=0$ por lo que te explicaba antes

La forma de encontrar el maximo es usando eso de la derivada pero como la derivada segunda me da positiva no pude encontrar el maximo por ese camino entonces haciendo eso otro que me dijiste de analizar la funcion en los extremos llegue a esta funcion:


$f(1)=4-8\cos\theta_{max}+4\cos^2\theta_{max}=4(1-\cos\theta_{max})^2$

que veo que su valor es maximo cuando tita es cero entonces como esta funcion en definitiva es la misma expresion que tenia para la aceleracion concluyo que la aceleracion es maxima en tita = 0

Esto esta bien?

Porque no entienod donde es que empieza la parte general digamos....

Por otro lado en un momento me dijiste que la aceleracion es maxima en $\theta=\theta_{max}$ entonces donde es maxima? en tita max o en cero?

El porque es maxima en cero lo veo por lo que te comente antes, el porque decir que la aceleracion es maxima en tita max no lo veo....


Cuando decis "... la maxima aceleracion sera el punto de retroceso .." ahi es donde hablas del caso general? que igual tampoco veo como detectas que hay un caso general y el porque hay una solucion que es particular que creo es la de tita igual cero.

El link que pasaste muy bueno! y si veo que la aceleracion es maxima en un punto distinto al de equilibrio por eso me confunde mas porque decir que tita = 0 sea una solucion valida...si por lo visto no lo es pero por el metodo que hice antes si se llegaba a esa conclusion

[arivasm]

Re: pendulo

No, la aceleración no toma su máximo valor en $\theta=0$. Eso sólo sucederá si el ángulo máximo que forma el péndulo con la vertical es suficientemente grande. Fíjate bien en la animación que te señalé: la máxima longitud de la flecha verde se da en los extremos (los puntos de retroceso).

Sobre lo que dices acerca de f no lo estás enfocando bien. El ángulo $\theta_{max}$ no es lo que debes analizar, sino el ángulo $\theta$, cuyo resultado dependerá de lo que valga el anterior. Para que me entiendas, imagina que un péndulo tiene sus puntos de retroceso cuando el ángulo de la cuerda con la vertical es 60º. La función que se debería analizar sería [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y así encontrar el $x=\cos\theta$ que corresponde al máximo de la aceleración.

Por último, repito: la aceleración podrá tener un valor mínimo para un ángulo entre 0 y el del extremo. Por tanto, el máximo será o bien en 0 o bien en el extremo, y es por ello que hay que comparar esos dos puntos. Pero el resultado de la comparación no es siempre el mismo. Para unos 53º los dos valores son iguales, para ángulos menores "gana" el extremo, para ángulos mayores lo hace el punto de equilibrio.

[LauraLopez]

Re: pendulo

ahora si entendi!! gracias!

Tengo otro ejercicio para consultar que es muy similar asi que lo comento en este mismo hilo....basicamente se trata de lo mismo pero esta vez el pendulo esta en un recinto con aceleracion hacia arriba.

Dice un pendulo sujeto al techo de un recinto que se acelera verticalmente. Suponiendo que el pendulo se aparta un pequeño angulo de su posicion de equilibrio respecto del recinto y se lo deja en libertad.
Tambien me dice que use las aproximaciones de decir que $\sin \theta =\theta$ y la aprox del coseno de antes.

Me pide una expresion para el maximo esfuerzo a que se vera sometida la cuerda en funcion de la aceleracion del recinto.

lo que hice es solo agregar una fuerza ficticia en la direccion del peso y luego resolver como antes:

Proyectando sobre la direccion radial me queda:

$mg\cos \theta + {f}^{ *}\cos \theta - T = - m \frac{{v}^{ 2} }{l }$

${f}^{ *} = m{a}_{R }$ donde $a_R$ es la aceleracion del recinto

asi que $T = mg\cos \theta + m{a}_{R }\cos \theta + m \frac{{v}^{ 2} }{l }$

Igual que antes utilizo la conservacion de la energia para encontrar una expresion para la velocidad que sera la misma que habia encontrado en el ejercicio anterior

${v}^{2 } = 2gl (\cos \theta - \cos {\theta }_{ max} )$

Reemplazo y tengo

$T=3mg\cos \theta - 2mg\cos {\theta }_{ max} + m{a}_{R }\cos \theta$

cuando tenia el pendulo que no estaba en un recinto acelerado habia llegado a:

$T=3mg\cos \theta - 2mg\cos {\theta }_{ max}$

Se observa que la maxima tension se tiene cuando tita vale cero

${T}_{max } = 3mg + m{a}_{R } - 2mg\cos {\theta }_{ max}$

Aca fue lo mismo mas un termino debido a la aceleracion del rencinto, te parece que esta bien lo que hice?

[arivasm]

Re: pendulo

Sí, es correcto.

Un enfoque típico para este tipo de problemas, y que en esencia hace uso del punto de vista no inercial que manejas, pasa por introducir la gravedad aparente, que será $g+a_R$ (si la aceleración no tuviese el sentido contrario del de la gravedad real sería $\vec g-\vec a_R$). A partir de ahí concluimos exactamente los mismos resultados que con un péndulo "normal", salvo el cambio en la gravedad. Así, por ejemplo, podemos decir que el período del péndulo de este nuevo ejercicio será $\dst 2\pi\sqrt{\frac{l}{g+a_R}}$

Saludos, Laura!

[LauraLopez]

Re: pendulo

si de hecho otro de los incisos era el de encontrar el periodo T y llegue a ese mismo resultado gracias!