Otras carreras alguno mas de pendulos

[LauraLopez]

Un pendulo puntual de masa m sujeto al techo de un recinto. Suponiendo que al pendulo se le da una pequeña velocidad inicial V0 cuando este se halla en posicion vertical y se lo deja en libertad.

hay un inciso que me pide:

a) Plantee la ecuacion diferencial y obtenga una expresion que permita describir la posicion, velocidad y aceleracion del pendulo en funcion del tiempo, suponiendo que la oscilacion es de angulo pequeño (obtenga la solucion correspondiente a las condiciones iniciales de este problema en particular).

lo de la ecuacion diferencial es como ya hice en otros ejercicios y me da:

$\frac{\dd {\theta }^{ 2} }{{t }^{ 2} } + \frac{g}{l } \theta = 0$

y la solucion es:

$s(t) = l{\theta }_{max } \sin (wt + \phi )$

$v(t) = l{\theta }_{max }w \cos (wt + \phi )$

$a(t) =- l{\theta }_{max }{w}^{2 } \sin (wt + \phi )$

AHora cuando me pide la solucion para las condiciones iniciales que tengo que decir?

Lo que se es que

S(0) = 0 y V(0) = V0

Cual es la respuesta esperada aca exactamente?

[arivasm]

Re: alguno mas de pendulos

Antes de nada, recuerda que lo que encuentras al derivar dos veces no es $a(t)$, sino la componente tangencial, $a_t(t)$. La cuestión de las condiciones iniciales te permitirá encontrar la $\theta_{max}$ y $\phi$. Como estoy seguro de que lo verás, lo dejo para ti.

[LauraLopez]

Re: alguno mas de pendulos

si claro es la aceleracion tangencial,lo que me pide es una expresion que permita describir la aceleracion tengo que encontrar la aceleracion normal tambien entonces? o con dar como respuesta la tangencial ya esta bien?

Entonces la solucion para las condiciones iniciales es de esta formula:

$s(t) = l{\theta }_{max } \sin (wt + \phi )$

encontrar el valor de tita max y fi?

yo diria que como S(0) = 0 entonces

$l{\theta }_{max } (\sin \phi ) = 0$

como tita max y l son distintos de cero tengo que $\sin \phi = 0$ , entonces $\phi = 0$

Despues nose bien como encontrar el tita max... los datos que me quedan son que $V(0) = {V}_{ 0}$

y que el tita maximo lo tengo cuando V = 0.... y de aca como encuentro el tita max?

[arivasm]

Re: alguno mas de pendulos

Usa que $v(t)=l\theta_{max}\omega\cos(\omega t)$, y que $\omega=\sqrt{g/l}$.

Sobre la aceleración, quizá convenga encontrar por una parte $a_t(t)$, que ya tienes, y por otra $a_c(t)=v^2(t)/l$. Si quieres agruparlas para obtener el módulo de $a(t)$ sería lo mismo que has hecho en el otro hilo del máximo de la aceleración (ése me gustó!).

[LauraLopez]

Re: alguno mas de pendulos

yo siempre solia dar como respuesta solo la aceleracion tangencial menos mal que me avisaste sino lo haria siempre mal....

pero igual en el ejercicio ese que mencionas tenia la aceleracion expresada en funcion de ttia aca es en funcion de la velocidad asi que seria:

$a_c(t) = {{\theta }_{max } }^{2 } {w}^{2 }{\cos (wt + \phi )}^{2 }$

Asi que
$<br /> a = w{\theta }_{max } \sqrt{{\sin (wt + \phi )}^{ 2} + {{\theta }_{max } }^{2 }{w}^{2 } {\cos(wt + \phi ) }^{4 } }$ no?

Lo de encontrar el tita max me sigue sin salir.....

El angulo maximo lo tengo cuando la velocidad es cero..

$l\theta_{max}\omega\cos(\omega t) = 0$

esto se da en el coseno de 90 pero no se llegaria a un angulo tan grande si son oscilaciones pequeñas no? entonces ...?

[Incertidumbre]

Re: alguno mas de pendulos

Hola se me ocurrio plantear la conservación de la energia si en t=0

tenes que

$E=\frac{1}{2 }*\text{m} *{{v}_{ 0} }^{2 }$

y en el instante de máxima amplitud la energia es puramente potencial ya que la velocidad como bien vos decis es 0

esto es :

${E}_{p}=\ell*\text{g}*\text{m} *(1-\cos \theta )$

igualando las energias nos queda que

${\theta }_{ max}={\cos }^{ -1} (1-\frac{{{V}_{0 } }^{2 } }{ 2*\text{g} *\text{l} } )$

fijate si esta bien , perdon por la escritura es la primera ves que escribo algo en el foro. un saludo.

[LauraLopez]

Re: alguno mas de pendulos

si por conservacion de la energia si veo que se pueda hacer el tema es como hacerlo a partir de $v(t)=l\theta_{max}\omega\cos(\omega t)$ como indica arivasm.... deberia llegar a lo mismo? o a alguna expresion mas facil?

[arivasm]

Re: alguno mas de pendulos

Yo usaría que puesto que $v(0)=v_0$, substituyendo en la ecuación de la velocidad $v_0=l\theta_{max}\omega$, luego $l\theta_{max}=v_0/\omega$

[LauraLopez]

Re: alguno mas de pendulos

Entonces la solucion final seria:

$\phi = 0$

$w = \sqrt{\frac{g}{ l} }$

${\theta }_{ max} = \frac{{v}_{0 } }{\sqrt{gl} }$

Luego

$S(t) = \frac{{v}_{0 } }{\sqrt{\frac{g}{ l} } } \sin (\sqrt{\frac{g}{l } }t )$

[arivasm]

Re: alguno mas de pendulos

Debo aclarar que lo que ha escrito Incertidumbre es correcto. Simplemente, como la amplitud será pequeña (debido a la pequeña velocidad, lo que permite la aproximación del oscilador armónico que hace Laura en el primer post), el coseno se puede aproximarse como $\cos\theta\approx 1-\theta^2/2$, de manera que ambas respuestas deberían ser la misma (se ve muy bien haciendo esa aproximación en la energía potencial).