Otras carreras poleas y plano inclinado

[LauraLopez]

En el problema mostrado en la figura, el cuerpo A pesa 100 Newton y el Q pesa 10 Newton. El plano y las poleas son lisas. La cuerda AC es paralela al plano horizontal y la cuerda AB es paralela al plano inclinado de 30° con la horizontal

Para el instante mostrado en la figura:

A) Calcular el peso P necesario para mantener en equilibrio el sistema

B) Si P pesa el doble de lo calculado en el inciso anterior, determinar la aceleracion del cuerpo Q

Este ejercicio viene con la solucion

a) 60 Nt
b) 1, 36 m/s^2

El inciso a me da bien pero el b no a ver si les parece que lo hice bien y esta mal la solucion o lo hice mal...

como el inciso a me dio bien no lo escribo aca en el b se dice que el peso es el doble del a asi que P= 120 N con lo cual el sistema no estara en equilibrio y tenemos aceleracion.

Llamo T2 a la tension de la cuerda izquierda y T1 a la tension de la cuerda derecha entoces:

Para el cuerpo A:

la sumatoria en x ( tomo positivo hacia la derecha y el eje x lo hago paralelo al plano inclinado)

${T}_{1 } - {T}_{2 }\cos 30 - {m}_{a }g \sin 30 = {m}_{a } a$

Para el cuerpo Q (todo positiva hacia arriba)

${T}_{2 } - {m}_{q }g = {m}_{q }a$

Para el cuerpo P: ( se mueve hacia abajo asi que esa es la direccion positiva)

$120 - {T}_{1 } = {m}_{p }a$


Tomo g= 9,81


${m}_{q } = 1,02 kg$

${m}_{a } = 10,2 kg$

${m}_{p } = 12,24 kg$

Reemplazo con las ecuaciones que tengo y llego a

$a= 2,63 m / s ^2$

lo que no me coincide con la solucion, alguien llega a la solucion que me figura que deberia dar el ejercicio o encuentra algun error en mi metodo?

[arivasm]

Re: poleas y plano inclinado

En mi opinión, la aceleración de Q no será la misma que la de A, sino que es igual a la componente horizontal de la aceleración de A.

[LauraLopez]

Re: poleas y plano inclinado

y como te das cuenta eso?? y la de P si es igual a la de A? si no hay rozamiento...porque no es la misma?

[Al2000]

Re: poleas y plano inclinado

Aceptando que el cuerpo no se ha empezado a mover, la aceleración de Q, que en el punto de contacto de la cuerda con el cuerpo A hace un ángulo de 30° con el plano, debe tener una componente paralela al plano inclinado igual a la aceleración del cuerpo A, o sea, $a_Q \cos 30\° = a$. Una vez que el cuerpo se empiece a mover, entonces la relación es mucho mas complicada, pues la aceleración de Q depende no solo de la aceleración de A sino también de su posición y velocidad.

Si se toma el origen de coordenadas en la posición del cuerpo A y se orientan los ejes con X paralelo a la superficie inclinada y hacia la derecha, Y hacia arriba, entonces la longitud de la cuerda que une a los cuerpos Q y A viene dada por

$$\ell = \sqrt {(x - x_C)^2 + y_C^2} + \ell_Q + \ell_C = \text {ctte}$$

donde estoy llamando $(x_C,y_C)$ las coordenadas de la polea C, $\ell_Q$ la longitud del tramo de cuerda que va de la polea C al cuerpo Q y $\ell_C$ el trocito de cuerda alrededor de la polea C. Entonces hay que determinar $d^2 \ell_Q/dt^2$...

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: poleas y plano inclinado

HOla al...la verdad que no te entendi..... no veo porque la aceleracion de q no es la misma que la de A y mucho menos lo otro que decis.... de donde sale esa raiz y esas variables raras jajaja y porque depende de las cuerdas y eso..... capaz se hace de la forma que vos decis vos llegaste al resultado que me dan? 1,36 m /s^2

[Al2000]

Re: poleas y plano inclinado

No lo he calculado. En realidad mi mensaje era en respuesta al de arivasm que habló de una componente horizontal y no me quedó muy claro a que se refería.

Te devuelvo la pelota. Haz los cálculos poniendo que la aceleración de Q es $a_Q = a/\cos 30\°$ y si no te da el resultado correcto a lo mejor me animo a resolver el problema

Saludos,

Al

[arivasm]

Re: poleas y plano inclinado

Hola Al, hola Laura!

Justificaré mi respuesta, pero usaré una línea como la que señala Al (de manera que voy a pensar menos en Laura, con el permiso de ella). Tal como dice Al, sean $(x_c, y_c)$ las coordenadas de la polea, y sean $(x,y)$ las coordenadas del extremo de la cuerda unido a la caja (tomando las coordenadas horizontalmente y verticalmente). Para hacer más sencillas las cosas vamos a pensar sólo en el tramo de cuerda entre ambos, cuya longitud cumple que $l^2=(x-x_c)^2+(y-y_c)^2$. Derivando dos veces y eliminando el factor 2 que aparece en todos los términos, tenemos que $\dot l^2+l\ddot l=\dot x^2+(x-x_0)\ddot x+\dot y^2+(y-y_0)\ddot y$. Si lo aplicamos al instante inicial, en el que las velocidades son nulas e $y=y_0$ lo anterior significa que $l_0 a_Q=(x-x_0) a_x=l_0 a_x$, es decir, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Así pues, tenemos una discrepancia!

Saludos, amigos!

[Al2000]

Re: poleas y plano inclinado

Seguramente tu estás en lo correcto, Antonio, pues cuando el ángulo tiende a 90° el cuerpo Q no debería tener ninguna aceleración inicial.

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: poleas y plano inclinado

HOla de momento no les entiendo...sigo sin ver como darse cuenta de que la aceleracion de q no sea igual a la de a, y encima que es la componente horizontal de la de a porque no la vertical por ejemplo?....ayer por desgracia no me dio el tiempo para verlo hoy a la tarde le dedico tiempo a intentar enteder algo de lo que dicen despues les consulto muchas gracias

[LauraLopez]

Re: poleas y plano inclinado

no entendi

[arivasm]

Re: poleas y plano inclinado

Piensa que la aceleración de Q será la misma que tenga el extremo de la cuerda que está unido a A. Pero la aceleración de dicho punto es horizontal, mientras que la de A es paralela al plano. Por ese motivo, la relación entre ambas es que una de ellas es una componente de la otra. La duda que teníamos era cuál era la componente de cuál. No es sencillo de ver, e incluso puede ser engañoso. La respuesta es que la aceleración de Q (es decir, la del punto de la cuerda al que me referí antes) es igual a la componente horizontal de la aceleración de A. Quizá una buena forma de verlo es tomar el caso límite que indica Al: si el plano fuese vertical, en el instante del dibujo Q no tendría aceleración (pero sí A), lo que sólo es posible con la respuesta anterior. Otra alternativa para verlo es recurrir a la derivación que empleé en mi post anterior.

[LauraLopez]

Re: poleas y plano inclinado

Hola...la verdad que sigo sin ver como se resuelve este ejercicio... por un lado la aceleracion de Q por lo visto no es igual a la aceleracion de A entonces seria que

$a_q = a_a \cos 30$ no?

Me podes explicar un poco mejor porque esto? no logro darme cuenta

y con respecto a P? que aceleracion tiene? P si tiene la misma aceleracion que A? yo creo que si pero porque P si y Q no?

igualmente intene resolverlo asumiendo esa ecuacion para la aceleracion de q pero no llego a la respuesta de 1,36 que me da la solucion tal vez es porque esta mal la solucion....

Las ecuaciones que estoy usando son:

$T_1 - T2\cos 30 - m_ag\sin 30 = m_a a_a$

$T_2 - m_q g = m_q a_q$

$120 - T_1 = m_p a_p$

y resolvi asumiendo que $a_p$ es igual a $a_a y a_q$ es como decian

[arivasm]

Re: poleas y plano inclinado

...la aceleracion de Q por lo visto no es igual a la aceleracion de A entonces seria que $a_q = a_a \cos 30$ no? Me podes explicar un poco mejor porque esto?

Trataré de explicarlo primero cualitativamente y después analíticamente (aunque para esto último me voy a repetir un poco con respecto de mi post anterior).

Imagínate que A se desplaza un poquito plano abajo: nuestro objetivo es pensar en qué le sucede a la longitud del tramo de cuerda que le une con Q y que está comprendido entre A y la polea. Para verlo analicemos antes dos casos extremos, cuya composición nos proporcione la respuesta que buscamos. Si A se moviese de una manera estrictamente horizontal la respuesta sería fácil: A y Q tendrían la misma velocidad, pues si A se acerca 1 m a la polea Q descenderá 1 m. Si A se moviese de una manera estrictamente vertical ciertamente habría cambios en la longitud de la cuerda que hay entre A y la polea, pero está claro que si inicialmente la cuerda está horizontal un pequeño desplazamiento vertical de A no producirá un cambio en dicha longitud, de modo que Q tendrá un movimiento despreciable. En el caso del dibujo tenemos una mezcla de ambas situaciones: en lo que se refiere al movimiento de Q sólo cuenta la parte horizontal del movimiento de A, y por eso su aceleración es igual a la componente horizontal de la de A, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

De todos modos, el análisis anterior no es estrictamente correcto y tiene unos cuantos fallos, sobre todo en lo que se refiere a la parte vertical del movimiento. Por eso, lo que debemos hacer es plantear cuánto mide el tramo de cuerda que hay entre la polea y A y derivarlo dos veces respecto del tiempo. El punto de la polea donde toca la cuerda tiene coordenadas fijas que, usando la notación de Al, llamaremos $(x_C,y_C)$. En cambio, las del extremo de la cuerda unido a A $(x,y)$ cambian con el tiempo de manera solidaria con el movimiento de A. Si aplicamos la expresión para la distancia entre dos puntos tenemos que la longitud de ese tramo de cuerda es $l=\sqrt{(x-x_C)^2+(y-y_C)^2}$.

Ahora haré una pillería para no cansarme derivando raíces cuadradas: elevaré todo al cuadrado, $l^2=(x-x_C)^2+(y-y_C)^2$ y derivaré. Así,

$\dst 2 l \frac{\dd l}{\dd t}=2(x-x_C)\frac{\dd x}{\dd t}+2(y-y_C)\frac{\dd y}{\dd t}$

Eliminando los doses y derivando de nuevo tenemos que

$\dst \left(\frac{\dd l}{\dd t}\right)^2+l\frac{\dd^2 l}{\dd t^2}=\left(\frac{\dd x}{\dd t}\right)^2+(x-x_C)\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}+\left(\frac{\dd y}{\dd t}\right)^2+(y-y_C)\frac{\dd^2 y}{\dd t^2}$

El ejercicio nos dice que en el instante de cálculo las velocidades son nulas, con lo que sólo nos quedaremos con que

$\dst l\frac{\dd^2 l}{\dd t^2}=(x-x_C)\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}+(y-y_C)\frac{\dd^2 y}{\dd t^2}$

pero vemos también que en ese mismo instante la cuerda está horizontal, de modo que $y=y_C$ y así

$\dst l\frac{\dd^2 l}{\dd t^2}=(x-x_C)\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}$

Pero si la cuerda está horizontal $x-x_C=l$, de modo que

$\dst \frac{\dd^2 l}{\dd t^2}=\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}$

Es fácil ver que, del mismo modo que $v_Q=\dd l/\dd t$, el lado izquierdo representa la aceleración de Q, mientras que el derecho representa sólo la componente horizontal de la aceleración de A.

y con respecto a P? que aceleracion tiene? P si tiene la misma aceleracion que A? yo creo que si pero porque P si y Q no?

El caso de P es bien diferente porque la cuerda es paralela al plano. De todos modos, es un tanto extraño el hecho de que la cuerda esté unida ¿al centro de la polea?, en vez de pasar por el borde de ésta hacia P.

Quiero decir con esto que si cogemos el dibujo tal cual está hecho la película es muy sencilla: P cae alegremente, mientras que A y Q están fijos!!!

Es posible que se trate de un error en el dibujo, pues de lo contrario el ejercicio no tendría el más mínimo interés. Si la cuerda pasa por la polea y une A y P ambos tienen la misma aceleración: si en cierto tiempo A se desplaza 1 m, P también se desplaza esa misma distancia en ese mismo tiempo.

Como te conté antes, no sucede lo mismo con Q.

Las ecuaciones que estoy usando son:

$T_1 - T2\cos 30 - m_ag\sin 30 = m_a a_a$

$T_2 - m_q g = m_q a_q$

$120 - T_1 = m_p a_p$

y resolvi asumiendo que $a_p$ es igual a $a_a y a_q$ es como decian

Veo que llamas T1 a la tensión de la cuerda que une A y P, y T2 a la que une A y Q. Veo además que presupones que el sistema se desplaza de manera que la aceleración de A es ascendente.

Yo encuentro correctas tus ecuaciones. Revisa tu resolución del sistema. Si quieres que tratemos de resolverlo para confirmar tu resultado dínoslo.

[LauraLopez]

Re: poleas y plano inclinado

Gracias! excelente tu explicacion la verdad explicas muy bien!! por otro lado veo que ese analisis hubiera sido muuuuy dificil que se me ocurriera no me parece que era algo "facil" de deducir

En fin....como te decia llego a otro valor pero capaz se debe a un error en mis calculos o que la solucion esta mal...

la solucion que dan es 1,36 m/ s ^2

con las ecuaciones de antes tengo:


$T_1 - T2\cos 30 - m_ag\sin 30 = m_a a_a$

$T_2 - m_q g = m_q a_q$

$120 - T_1 = m_p a_p$

si queres escribo mi desarrollo aca pero creo que te seria mas trabajo verificar mis cuentas que hacerlas vos...

en un momento llego a

$120 - 10\cos 30 - 100\sin 30 = \frac{m_a a_q}{ \cos 30} + m_q a_q \cos 30 + \frac{m_p a_q}{ \cos 30}$

reemplazo a g por 9,81 (tambien probe con g=10 pero no varia mucho el resultado)

y finalmente llego a

$a_q = 2,29$

[arivasm]

Re: poleas y plano inclinado

Yo encuentro prácticamente el mismo resultado que tú: 2,21 m/s^2. Debo decir que la diferencia procede del propio apartado a), pues mi resultado es 58,7 N. En cualquier caso, mi planteamiento es idéntico.