Otras carreras resorte y cuerpos

[LauraLopez]

En la figura se muestra un cuerpo de masa m1 sometido a la interaccion con un resorte de constante k y apoyado sobre un cuerpo m2 libre de rozamiento, que se encuentra sometido a una fuerza horizontal F. Si el cuerpo m1 esta en equilibrio respecto de m2

a) obtener una expresion para la aceleracion de cada cuerpo respecto de la tierra y una expresion para la compresion del resorte

b) Suponiendo que m2 es detenida bruscamente cuando su velocidad es V0 obtener expresiones para la amplitud con que oscilara m1 y para su maxima velocidad.

A) para este inciso llego a la expresion de la aceleracion y me da igual que las soluciones

$a = \frac{F}{m_1 + m_2 }$

pero para la expresion para la compresion del resorte me da mal el signo comparado con la solucion ( como siempre yo con problemas de signo...)

lo q hice fue:

desde el cuerpo m1 planteo newton:

$-kx = m_1a$

$x = - \frac{m_1}{k }a$

donde reemplazo a por lo que encontre antes

En la solucion figura lo miso pero sin el signo menos....porque es asi la forma correcta?

B)
con este que puede hacer? no se me ocurre....

[arivasm]

Re: resorte y cuerpos

El problema del signo es, de nuevo, la cuestión de diferenciar módulos de componentes. Cuando escribes $-kx=ma$ estás hablando de componentes, es decir $-kx=ma_x$. Por supuesto encuentras que $x$ tiene signo opuesto del de la componente x de la aceleración (es decir, el resorte se comprime). Si quisieses escribir módulos, la expresión sería $k|x|=ma$, pues los módulos son siempre cantidades positivas (y $k|x|$ expresa que el módulo de la fuerza es proporcional a la deformación, independientemente de que sea de compresión o de tracción).

Para el segundo apartado tienes una masa unida a un resorte uno de cuyos extremos (el izquierdo) está fijo y en reposo, es decir, un sistema masa-resorte de los de toda la vida. ¿Qué sabemos de la masa?, que en el instante t=0 tenía una velocidad $v_0$, una aceleración igual a la del apartado anterior, ambas dirigidas hacia el punto de equilibrio y también conoces la elongación $x$ en ese instante (que sí será negativa, pues tomas las coordenadas positivas hacia la derecha). Así pues, tienes tres valores, que te deberán permitir encontrar las tres incógnitas presentes en $x=A\cos(\omega t+\phi)$, es decir, $A$, $\omega$ y $\phi$, aunque sólo necesitas las dos primeras para responder a lo que te preguntan.

[LauraLopez]

Re: resorte y cuerpos

mmmmmm

haber las ecuaciones son:

$x(t) = A \cos (wt + \phi )$

$v(t) = - A w \sin (wt + \phi )$

${a}_{t } (t) = A {w}^{2 } \cos (wt + \phi )$

Vos decis que el M.A.S comienza en el instante en que se detiene bruscamente entonces llamo a ese instante t= 0. en dicho instante la velocidad es V0, la aceleracion es la que tenia (la del inciso anterior) y el resorte en ese punto estara comprimedo por eso el X (elongacion) es negativo no?

Lo que veo que puedo hacer es reemplazar t por cero e igualar a lo que me dijiste y tendria..

$X(0) = A \cos \phi = - \frac{m_1}{k }\frac{F}{m_1 + m_2 }$

de aca puedo decir que phi es cero y que entonces

$A = - \frac{m_1}{k }\frac{F}{m_1 + m_2 }$

pero la solucion no dice que ese sea el resultado... que hice mal??

La solucion dice $A =\sqrt{(\frac{m_1}{k } ) ( {{v}_{0 } }^{2 } + \frac{m_1 {F}^{2 } }{k({(m_1 + m_2 )}^{2 } ) } ) }$

[arivasm]

Re: resorte y cuerpos

El error está en que no es cierto que $\phi=0$.

Me he dado cuenta de que tienes otra vía más sencilla, consistente en usar las relaciones que tienen con la elongación la velocidad y la aceleración. En realidad, sólo la de la velocidad, pues la de la aceleración, $a_x=-k x$, no nos proporcionará nada nuevo. Sí lo hará la relación $v_x=\pm \,\omega \sqrt{A^2-x^2}$, con $\omega=\sqrt{k/m}$. Una vez que tengas la amplitud, la máxima velocidad corresponderá a $x=0$, es decir, $v=A\omega$.

[LauraLopez]

Re: resorte y cuerpos

$v_x=\pm \,\omega \sqrt{A^2-x^2}$ esta ecuacion como la deducis?

Los unicos datos que tengo son:

$x(t) = A \cos (wt + \phi )$

$v(t) = -A w\sin (wt + \phi )$

con estas 2 ecuaciones se llega?

no veo como....y tampoco veo como esa ecuacion que encontras me ayudara a encontrar A

[arivasm]

Re: resorte y cuerpos

Es una expresión que te conviene conocer, pues simplifica algunos problemas. Puedes encontrarla de dos maneras que, por supuesto, son equivalentes. Por una parte, podemos partir de que $\sin^2(\omega t+\phi)+\cos^2(\omega t+\phi)=1$. Usando las expresiones que indicas en tu post, ello equivale a que $\dst \frac{v^2}{A^2\omega^2}+\frac{x^2}{A^2}=1$. Multiplicando por $A^2$, y reordenando $\dst \frac{v^2}{\omega^2}=A^2-x^2$ y entonces $v=\omega\sqrt{A^2-x^2}$.

Otro enfoque es la conservación de la energía: $\dst \frac{1}{2}m v^2+\frac{1}{2}k x^2=\frac{1}{2}k A^2$ y tener en cuenta que $k=m\omega^2$.

Por cierto, que ahora que lo digo, esta última línea también te permite encontrar la amplitud. Claro que, repito, en realidad todas ellas son equivalentes.

[LauraLopez]

Re: resorte y cuerpos

ahora si me dio bien gracias!