1r ciclo elasticidad. Deformación de un cuerpo en movimiento

[javier m]

Hola.

Resulta que en los libros de física, en la parte de elasticidad, ponen algo así:

Un cuerpo (de forma cubica por ejemplo) quieto,en el piso, sometido a dos fuerzas horizontales en la misma linea de acción, de igual modulo, pero de sentido contrario.

Experimentalmente, se obtiene $\dfrac{F}{A}=E\dfrac{\Delta L}{L}$

Siendo F el modulo de una de las fuerzas, L la longitud antes de aplicar las fuerzas, E el modulo de Young y A el área de la superficie en la que se aplica la fuerza.


Pero y si solo se le aplica una fuerza F y el cuerpo adquiere una aceleración ¿como es la deformación?

si por ejemplo, tengo una varilla girando sobre un eje horizontal (el eje está en un extremo de la varilla), ¿como puedo relacionar el cambio de longitud con el peso y la fuerza que ejerce el eje (obviando la fricción) cuando la varilla está en la parte mas alta y baja de su movimiento ?

[arivasm]

Re: elasticidad. Deformación de un cuerpo en movimiento

A ver si no meto la pata...

Voy a considerar una barra homogénea de sección $A$ y longitud en reposo $L_0$. En uno de sus extremos aplicaremos la fuerza $F$. Introduciré una coordenada $x$ que identificará la posición de los puntos de la barra, con el 0 en el extremo donde se aplica $F$.

Llamaré $L$ a la longitud de la barra una vez acelerada y usaré una nueva coordenada, $y$, con el mismo criterio que la anterior, para dar la nueva posición de los elementos.

Sea el elemento de tamaño inicial $\dd x$ situado inicialmente en $x$ y actualmente en $y$. Sea, a su vez, $f(y)$ la fuerza que ejerce su vecino por la izquierda y $-f(y+\dd y)$ la que ejerce el de la derecha. Por la 2ª ley la suma de ambas será

$\dst \dd m\;a = f(y)-f(y+\dd y)=-\frac{\partial f}{\partial y} \dd y$.

Introduciendo la densidad lineal del material $\rho(y)=\dd m(y)/\dd y$, lo anterior equivale a que

$\dst a \rho(y) = -\frac{\partial f}{\partial y}$

que mejor nos conviene escribirla como

$$\dst -\frac{1}{\rho(y)}\frac{\partial f}{\partial y}=a$$

Ahora pensemos en el efecto que causa la compresión debida a los elementos vecinos:

$\dst \dd y=\dd x - \frac{f(y)}{A E}\dd x=\dd x\left(1- \frac{f(y)}{A E}\right)$

Dividiendo ambos miembros por $\dd m$ tenemos que

$\dst \frac{1}{\rho(y)}=\frac{1}{\rho(x)}\left(1- \frac{f(y)}{A E}\right)=\frac{L_0}{M}\left(1- \frac{f(y)}{A E}\right)$

Trasladando esto a (1) tenemos

$\dst -\frac{L_0}{M}\left(1- \frac{f(y)}{A E}\right)\frac{\partial f}{\partial y}=a$

es decir,

$\dst \frac{\partial f}{\partial y}-\frac{f(y)}{A E}\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{Ma}{L_0}$

De este modo, hemos encontrado una ecuación diferencial que nos proporcionará cómo varía la tensión en la barra a lo largo de ésta. De todos modos, como nuestro objetivo es otro, multipliquemos por $\dd y$, integremos entre 0 y $L$:

$\dst \int_{y=0}^L \frac{\partial f}{\partial y}\dd y - \int_{y=0}^L \frac{f(y)}{A E}\frac{\partial f}{\partial y}\dd y=-\int_{y=0}^L \frac{Ma}{L_0}\dd y$

Ahora tengamos en cuenta que $f(0)=F$ y $f(L)=0$:

$\dst -F+\frac{1}{2AE}F^2=-Ma\frac{L}{L_0}$

Lo que nos permite encontrar la nueva longitud:

$\dst L=L_0 \frac{F}{Ma}\left(1-\frac{F}{2AE}\right)$

Pero, por último, como $F=ma$

$\dst L=L_0 \left(1-\frac{F}{2AE}\right)$

En términos de contracción de la barra, $\Delta L=L_0-L$

$\dst E \frac{\Delta L}{L_0}=\frac{1}{2}\frac{F}{A}$

[javier m]

Re: elasticidad. Deformación de un cuerpo en movimiento

Muchas gracias arivasm!
sería difícil encontrar a alguien que me resolviera esto en otra parte.

matemáticamente me quedaron unas cosas en el aire, porque no se casi nada de derivadas parciales. Pero a grandes rasgos creo que entendí bien.
Desde el punto de vista físico, no entendí porque $f(L)=0$.

y por ultimo, pues, un resultado como $\dfrac{F}{A}=\dfrac12 E\dfrac{\Delta L}{L}$ sería mas intuitivo para mi. Osea, que 2 fuerzas opuestas causen el doble de deformación que una.

Gracias.

[arivasm]

Re: elasticidad. Deformación de un cuerpo en movimiento

Las derivadas parciales es sólo que soy un tiquis-miquis y es para indicar que si nos empeñamos también podríamos derivar respecto de x. Visualízalas como derivadas normales y corrientes.

[arivasm]

Re: elasticidad. Deformación de un cuerpo en movimiento

Se me olvidaba es $\dfrac{F}{A}=2 E\dfrac{\Delta L}{L}$, es decir, la misma fuerza produce la mitad de deformación o bien hace falta el doble de fuerza para lograr la misma deformación. Ya ves que soy un tiquis-miquis.

[arivasm]

Re: elasticidad. Deformación de un cuerpo en movimiento

También olvidaba lo de f(L)=0: piensa en el último elemento de la barra. Como su masa es infinitesimal y no tiene nada a su derecha, la fuerza que ejerce sobre él el elemento de la izquierda será infinitesimal (dm a). Moraleja: en el extremo izquierdo la tensión es F. A medida que nos desplazamos hacia la derecha va disminuyendo hasta hacerse nula en el extremo derecho.

[javier m]

Re: elasticidad. Deformación de un cuerpo en movimiento

Se me olvidaba es $\dfrac{F}{A}=2 E\dfrac{\Delta L}{L}$, es decir, la misma fuerza produce la mitad de deformación o bien hace falta el doble de fuerza para lograr la misma deformación. Ya ves que soy un tiquis-miquis.

Yo no sé si soy o me hago...
Interpreté el resultado al revés.