Otras carreras aceleracion en funcion de la velocidad

[LauraLopez]

hola..alguna ayuda para empezar con este ejercicio? nose como encararlo..

[arivasm]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

Puedes transformar la ecuación original, como ya he visto que has hecho en otros hilos. Así, en vez de manejarla como $\dst \frac{\dd v}{\dd t}=\alpha-\beta v^2$ (prefiero usar $\alpha$ y $\beta$ para referirme a los valores que aparecen en el enunciado), se puede introducir $\dd t = \dd x / v$, de manera que la ecuación pasa a ser $\dst v\frac{\dd v}{\dd x}=\alpha-\beta v^2$, es decir, $\dst \int \frac{v}{\alpha-\beta v^2}\dd v=\int \dd x$. De esa manera tendrás una expresión para $v(x)$. Entonces simplemente tendrás que comprobar que la aceleración nula corresponde a una velocidad que sólo es alcanzable si $x=\infty$.

[juantv]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

Vagamente he hecho un par de garabatos , haber si sirven de ayuda (si es que no estoy errado ) para algunos incisos ...

$\dst \ddot{x} = 3 - 0,08 \dot{x} ^2$

Haciendo un par de sustituciones y siguiendo el procedimiento que te dije en este hilo http://forum.lawebdefisica.com/threa...ion-del-tiempo

llego a que

$\dst \dot x = 6,12\left( 1 + \frac{12,24}{e^{0,48 t} - 1} \right)$

sustituyendo esto en la ED inicial y revisando cuando se hace cero (inciso a)

se ve que se hace cero cuando la expresion $\dst \frac{2}{e^{0,48 t} - 1}$ tienda a cero ... , $\dst \lim_{t\to\infty} \frac{2}{e^{0,48 t} - 1} = 0$ , con lo que se necesitara un tiempo " infinito " para que esto sea asi, y por ende para que la aceleracion llegue a ser cero

dado que ya tenemos $\dst \dot{x}$ bastara integrar para hallar la funcion posicion, algo como

$\dst x(t) = 6,12 t + 12,24 \int {\frac{dt}{e^{0,48 t} - 1}}$

si no he hecho malas consideraciones, la integral de la que hablan seria esa (inciso c) .

[juantv]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

Ah viendo lo que ha puesto arivasm , creo que mi intento fue fallido y me he equivocado, lo siento

[LauraLopez]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

Gracias ahi creo que lo pude hacer bien y llego a

$v(x) = \sqrt{\frac{3}{0,08 } - \frac{1}{0,08 }{e}^{-0,16x } }$

Luego hice el grafico de la velocidad al cuadrado para el inciso b. a que se refiere con analizar el tipo de movimiento?

[LauraLopez]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

ahh y para el inciso c

esta bien esto:

$v(x) = \frac{\dd x}{\dd t }$

$\dd t = \frac{1}{v(x) }\dd x$

$t (x) = \int \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{0,08 } - \frac{1}{0,08 }{e}^{-0,16x } } }\dd x$

[arivasm]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

Quizá se refiera a que a través de la gráfica se haga una interpretación cualitativa acerca de cómo será el movimiento. Por ejemplo, ¿hay puntos de retroceso (v=0)?, ¿podría ser que siempre tenga el mismo sentido? ¿podrá ser oscilante?... De todos modos, si no me equivoco, no será precisamente un movimiento que dé demasiado juego para ese tipo de valoraciones.

[LauraLopez]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

la grafica que me queda es como una logaritmica que para x tendiendo al infinito tiende a 37,5 mas que eso no se que agregar... con respecto al iniciso c crees que es solo eso? o sea puede dejar algo mejor?

[arivasm]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

Como ves, se trata de un movimiento de un solo sentido, cuya velocidad aumenta constantemente, tendiendo asintóticamente a un valor. Por cierto que veo que has supuesto que v=0 en x=0. Si nos ponemos rigurosos te falta la constante de integración.

Para el apartado c) hay que ir en la línea que decía Juan, en el sentido de tratar de encontrar x(t), si bien el ejercicio lo único que te pide es que dejes planteada $\int v \dd t$. Por cierto que yo no llego a la solución de Juan para la velocidad (a mí me sale una tangente hiperbólica).

Una vía que puedes seguir es partir de $\dst \frac{\dd v}{\dd t}=\alpha-\beta v^2$ y encontrar $v(t)$, para después dejar planteada $x(t)= \int v \dd t$

[LauraLopez]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

con respecto a la constante de integracion tengo que dejar expresado como +C o hay que encontrar el valor de esa constante? en caso de tener que encontrarlo como se hace?

lo que hice yo para el iniciso c estaria mal porque lo que encuentro es t(x) en lugar de x(t) o esta mal por otra razon? igualmente intentare hacer lo que me dices

$a(v) = \frac{\dd v }{\dd t }$

$dt = \frac{\dd v}{a(v) }$

$\int dt = \int \frac{\dd v}{3 - 0,08 {v}^{2 } }$

y esta integral con que metodo se resuelve??

[Al2000]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

Tal vez les gustará saber que la ecuación original

$$\frac {dv}{dt} = \alpha - \beta v^2$$

(usando la notación de arivasm) se puede integrar para llegar, después de algún reacomodo, a

$$\int_{v_0}^{v}\!\! \frac {dv}{\alpha - \beta v^2} = t \quad \Rightarrow \quad v_{(t)} = v_\infty \frac {(v_0 + v_\infty ) \exp(2 \sqrt {\alpha \beta }\, t) + (v_0 - v_\infty )}{(v_0 + v_\infty ) \exp (2 \sqrt {\alpha \beta }\, t) - (v_0 - v_\infty )}$$

donde $v_\infty = \sqrt {\alpha/\beta }$ es la velocidad terminal del movimiento, independientemente de la velocidad inicial $v_0$. Si se asume que el movil parte del reposo, entonces (2) toma la forma mas simple

$$v_{(t)} = v_\infty \frac {\exp(2 \sqrt {\alpha \beta }\, t) - 1}{\exp (2 \sqrt {\alpha \beta }\, t) + 1}$$

Saludos,

Al

[Cromwell]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

Creo que deberías hacer el cambio x segunda igual a derivada respecto a x de x prima cuadrado. Creo que la integral inmediata es un arco hiperbólico pero no estoy seguro.

[juantv]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

comentarios redundantes ... .

[LauraLopez]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

hola al con que metodo resuelves esa integral? porque no logro resolverla.... con la forma que yo decia porque estaria mal?

[Al2000]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

Mi respuesta no te va a gustar porque tu no la puedes usar... para resolver la integral miré el manual de Murray-Spiegel. Lo demás es carpintería (bueno, mas bien ebanistería porque el despeje y simplificación fue un trabajito de hormiga).

Saludos,

Al

PD. La integral en cuestión es $\dst \int \frac {dx}{x^2 - a^2} = \frac 1 {2 a} \ln \left(\frac {x-a}{x+a}\right) \quad \text { o bien} \quad - \frac 1 a \coth^{-1} \frac x a$