aceleracion en funcion de la velocidad

[arivasm]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

La integral $t=\dst\int \frac{1}{\alpha-\beta v^2}\dd v$ se transforma inmediatamente en una de la forma $\dst\int \frac{1}{1-y^2}\dd y$ haciendo el cambio de variable $y=\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}v$. Para resolver esta integral se suele recurrir a expresar la fracción, cuyas raíces del denominador son 1 y -1, como $\dst\frac{1}{1-y^2}=\frac{A}{y-1}+\frac{B}{y+1}$, con A y B constantes que encuentras inmediatamente sin más que hacer la suma de las fracciones algebraicas de la derecha y comparar el resultado con la de la izquierda. De esa manera tendrás que resolver $\dst \int \frac{A}{y-1}\dd y+\int \frac{B}{y+1}\dd y=A\ln(y-1)+B\ln(y+1)$. Finalmente sólo tienes que deshacer el cambio de variable y despejar v (aunque en este sentido, te recomiendo que despejes antes y(t) y luego hagas la substitución).

PD: Veo que Al y yo hemos estado escribiendo a la vez. Está bien, porque así tienes los pasos y el resultado.

[LauraLopez]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

Hola chicos gracias por las respuestas intente hacerlo pero no llego a lo que llega Al...a ver si me dicen que esta mal...

Para simplificar entonces resuelvo la integral por tabla como agrego Al en la PD.

Asumo que $V_0 = 0$ para simplificar la integral

Tengo que

$t(v) = \int_0^v \frac{1}{\alpha - \beta {v}^{2 } } dv$

Entonces la llevo a la forma de la integral por tabla que me dijo Al

asi que hago la siguiente sustiticion : ${a}^{2 } = \alpha$ y ${x}^{2 } = \beta {v}^{2 }$

Entonces

$t = - \frac{1}{2a } Ln(\frac{x - a}{ x + a} )$

$-2at = Ln(\frac{x - a}{ x + a} )$

${e}^{-2at } = \frac{x -a}{x +a }$

${e}^{-2at } ( x + a ) = x - a$

$x = a \frac{( 1 + {e}^{-2at } )}{( 1 - {e}^{ -2at} ) }$

$x = a \frac{( 1 + {e}^{2at } )}{( {e}^{ 2at} - 1 )}$

reemplazando los valores de x y a tengo:

$v(t) = \sqrt{\frac{\alpha }{ \beta } } \frac{( 1 + {e}^{2\sqrt{\alpha } t } )}{( {e}^{ 2\sqrt{\alpha } t} - 1 )}$

No llegamos a lo mismo......ven el error?

[Al2000]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

Los errores... no puedes cambiar la variable y dejar el diferencial tan campante. Además, tienes que cambiar el signo pues la integral de la tabla tiene la resta invertida. Si quieres aplicar directamente el resultado de la tabla de integrales, entoonces en tu integral divide numerador y denominador por $- \beta$ y llama $a = \sqrt { \alpha/\beta }$.

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

tenes razon con lo del diferencial pero no veo porque lo del signo negativo este mal si en la tabla de integrales figura $x^2 - a^2$ yo el signo menos lo pase para el lado de la t para que quede igual que la tabla de integrales

[Al2000]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

Bueno, como tu me hablas con el vos argentino, yo te voy a hablar con el vos maracucho

Teneis razón, my mistake... te cambio ese error por este otro: la integral es definida y no estáis evaluando el límite inferior.

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

te cuento a lo que llego:

hice como decias de dividir por beta y la integral la valuo entre cero y V
entonces:

$t = -\beta \int_0^v \frac{1}{{v}^{2 } - {a}^{2 } } dv = -\beta ( \frac{1}{2a } Ln(\frac{v -a}{ v + a}) - \frac{1}{2a } Ln (-1) )$

me queda el Ln (-1) ahi como hago??

[Al2000]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

Saca factor común 1/2a y aplica las propiedades de los logaritmos para convertir la resta en un cociente. Yo te sugeriría que te acostumbres a sustituir los límites de integración como un cociente cuando se trate de un logaritmo...

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

Entonces tengo :

$t = - \frac{\beta }{ 2a} Ln (\frac{\frac{v - a}{v + a }}{-1 } ) = - \frac{\beta }{ 2a} Ln (\frac{a - v}{a + v } )$

$\frac{-2at}{\beta } = Ln (\frac{a - v}{a + v } )$

${e}^{ \frac{-2at}{\beta }} = \frac{a - v}{a + v }$

$v(t) = \sqrt{\frac{\alpha }{ \beta } } \frac{(1 - {e}^{ \frac{-2at}{\beta }} )}{(1 + {e}^{ \frac{-2at}{\beta }} ) }$

no reemplze la a del exponente pero quedaria la raiz de alfa y para beta queda elevara a la 3/2

Como veras sigo sin llegar a tu resultado el exponente me queda distinto....volvi a hacer algo mal?

[Al2000]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

Pues yo lo veo igualito. Si multiplicas numerador y denominador por la exponencial positiva te quedará tal cual yo lo escribí. Diré que me gusta mas esta forma que escribiste, pues con las exponenciales negativas es mas claro aún que la velocidad tiende asintóticamente a $\sqrt {\alpha/\beta }$.

Saludos,

Al

PD. ¿Te puedo sugerir que cuando tus ecuaciones tengan fracciones pongas el comando \dst al principio? Eso haría que no salgan tan chiquitas. Alternativamente prodrías usar el modo centrado ([TEX=null]...[/TEX]) o el modo numerado ([TEX=*]...[/TEX]).

[LauraLopez]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

Hola Al, no nos queda igual....

Vos tenes la e elevada a : $2 \sqrt {\alpha \beta }\, t$

y yo la e elevada a : [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[LauraLopez]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

Agrego que acabo de encontrar un error en el signo obtengo lo mismo que antes pero la e esta elevada a lo mismo pero con signo positivo!

[Al2000]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

Grrr, voy pescando los errores de uno en uno... necesito poner mas atención. El error se origina en la expresión que pones en el mensaje #21:

$\dst t = -\beta \int_0^v \frac{1}{{v}^{2 } - {a}^{2 } } dv = -\beta ( \frac{1}{2a } Ln(\frac{v -a}{ v + a}) - \frac{1}{2a } Ln (-1) )$

Debería decir

$\dst t = - \frac 1 \beta \int_0^v \frac{1}{{v}^{2 } - {a}^{2 } } dv = - \frac 1 \beta ( \frac{1}{2a } Ln(\frac{v -a}{ v + a}) - \frac{1}{2a } Ln (-1) )$

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: aceleracion en funcion de la velocidad

ahora si llegue a tu mismo resultado y bueno luego es solo dejar esa integral expresada muchas gracias por la ayuda!