1r ciclo Reloj de Arena y Balanza

[skinner]

Buenas. A ver si pueden ayudarme a "meterle" mano a este problema:

Se tiene una balanza muy sensible sobre la que descansa un reloj de arena de masa M. En el instante t=t0, toda la arena se encuentra en el compartimento superior y ningún grano de arena en el inferior. A partir de entonces, los granos comienzan a caer. Se supone que todos caen desde la misma altura, h. En el instante t=tf, el último grano ha golpeado el compartimento inferior. Como dato, el compartimento superior se descarga de arena a un caudal $dm/dt = c$ conocida.

Me piden la lectura de la masa de la balanza en función del tiempo.

Yo lo que pensé es: la masa total será constante, y lo único que cambia son las perturbaciones. Las perturbaciones se deben al impacto de cada grano con la base inferior del reloj. Calculé el tiempo de caída de cada grano: $t^{*}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$ y la velocidad de impacto por conservación de la energía: $vf=\sqrt{2gh}$.Entonces pensé en utilizar el concepto de Impulso ($\delta I = F\delta t$) pero no llevaba a ninguna parte. Se me ocurrió intentar calcular la fuerza de impacto de cada grano utilizando la 2º ley de Newton: $F=\frac{dp}{dt}=m*\frac{dv}{dt}=m*g=c\cdot t^{*}\cdot g$
Donde $t^{*}$ es el tiempo calculado anteriormente. Sustituyendo:

$$F_{imp}=c\cdot g\cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Supuestamente esa es la fuerza de impacto de cada grano sobre la superficie del reloj de arena. Lo que supone una masa adicional de:

$$m_{add}=\frac{F}{g}=c\cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Así que yo supuse que la lectura máxima de la balanza sería:

$$\boxed{m^{max}_{balanza}=M+m_{add}=M+c\sqrt{\frac{2h}{g}}}$$

y la lectura mínima:

$$\boxed{m^{min}_{balanza}=M+0=M}$$

No sé si mi razonamiento ha sido correcto o no; de cualquier forma me gustaría saber cuál es la lectura de la balanza entre la caida de grano y grano (la balanza no cambia su valor de $M$ a [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] en un impulso, sino que supongo que seguirá una ley con el tiempo).
Esta ley de cambio de masa con el tiempo es la que me piden.

¿Me podéis ayudar?

Un saludo amigos, mil gracias

[Al2000]

Re: Reloj de Arena y Balanza

Así de repente me pareciera que la balanza debería pasar de marcar una masa $M$ a marcar una masa $\dst M - c \sqrt {2 h / g}$ linealmente en un tiempo $\Delta t = \sqrt {2 h / g}$, marcar este valor reducido durante el tiempo que tarde en vaciarse el compartimento superior, para luego regresar a marcar de nuevo la masa $M$. Mi idea es que la balanza no "detectará" al hilo de arena que va cayendo. ¿Te parece razonable?

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Reloj de Arena y Balanza

Hola Al2000, como siempre tú ayudando. Tu razonamiento ahora que lo leo es más lógico que el mío. Yo no tuve en cuenta que el grano de arena que iba cayendo del compartimento superior al inferior no sería detectado,y por tanto pensé que la lectura iría de un valor superior a M, hasta M de nuevo.

Evidentemente es al revés: inicialmente marca $M$ para, mientras cae el grano, marcar $\dst M - c \sqrt {2 h / g}$.

Mi duda es si la balanza pasa de un valor a otro en un tiempo infinitesimal (entonces la función de la masa con el tiempo sería una delta de dirac, ¿no es así?)

Y por tanto, la función de la masa con el tiempo sería una función a trozos, con valor $\dst M - c \sqrt {2 h / g}$ para tiempos proporcionales a $\Delta t = \sqrt {2 h / g}$, y con valor M para cualquier otro caso.

¿Es correcto el análisis?

Finalmente una pregunta más: si en t=tf el último grano toca la base inferior del reloj, ¿entonces podríamos calcular la constante de proporcionalidad? dado que:

$t_f = \alpha \Delta t\Rightarrow \boxed{\alpha=\frac{t_f}{\sqrt {2 h / g}}}$

Este valor sería el valor de la constante para el que el último grano cae. ¿Representa este valor el número de granos en el reloj de arena? Además, este valor debe ser un valor natural, por tanto deduzco que puede encontrarse alguna relación entre $h$, $g$, $t_f$ y el número de granos. ¿Cómo podría buscar esta relación?

Un saludo, y muchas gracias

[Al2000]

Re: Reloj de Arena y Balanza

Yo no intentaría analizar el problema en forma discreta. Al fin y al cabo te están especificando una velocidad de vaciado del compartimento superior, lo que solo tiene sentido si consideras la función M(t) continua. Otro comentario... fíjate que te están dando datos de sobra, pues si te especifican la masa M de arena y la velocidad c a la que se vacía el compartimento, entonces el tiempo final queda determinado y será simplemente M/c.

Saludos,

Al