piston dentro de cilindo

[arivasm]

Re: piston dentro de cilindo

Como necesitas encontrar la fuerza de rozamiento, la idea es obtenerla mediante la integral (suma de infinitos infinitésimos) de las fuerzas de rozamiento que se producen en las zonas de contacto del cilindro con el pistón. Como te dije antes, yo sólo fui capaz de resolverlo si supongo que sólo hay contacto (normal no nula) en la mitad inferior del pistón. Lo que sucede es que la fuerza normal (dN) que ejerce el cilindro va cambiando según cuál sea la zona. Será más grande justo en la parte inferior y desde ahí va disminuyendo a medida que llegas a la parte donde el contacto es horizontal, donde es cero, pues ahí no se compensa el peso de nada.

La clave estaría, por tanto, en encontrar cómo cambia esa fuerza normal. Por eso me planteo dividir la sección de la manera que dibujó clairaut en el el post #12, y marcarme como objetivo hallar una expresión para la dN que ha dibujado.

Cada una de esas tiras de ancho dx estará sometida a cuatro fuerzas: dN, su peso y las que ejerzan sobre ella las tiras vecinas, que, entiendo, serán estrictamente horizontales. Como estas dos últimas complican la parte horizontal de la suma de fuerzas, pero no la vertical, podemos recurrir a ésta última. El equilibrio de fuerzas en vertical será $\dd P=\dd N\cos\theta$, lo que nos daría el camino para encontrar las dN.

Como se nos mezclarían variables (x y $\theta$), lo que hice anteriormente fue ponerlo todo en función de ese ángulo. Te recomiendo que pintes unos ejes, X e Y, con origen en el centro del pistón, al prolongar dN hacia ese punto puedes dibujar también ahí el ángulo.

La relación entre las coordenadas de cualquier punto del borde del pistón y ese ángulo será $x=R\sin\theta$ e $y=R\cos\theta$, lo que nos permite poner dx en función del ángulo, $\dd x=R\cos\theta\dd\theta$ y también conocer cuánto mide de alto cada una de las tiras anteriores: $2\sqrt{R^2-y^2}=2R\cos\theta$.

Por lo que se refiere al peso de una de esas tiras, por supuesto la clave es su masa, que será proporcional a su área. Si lo que escribí anteriormente te lía puedes verlo de esta manera: la masa de cada elemento será una constante de proporcionalidad, $\rho$, multiplicada por su área, es decir $\dd m=\rho \dd x 2\sqrt{R^2-x^2}=2\rho R^2 \cos^2\theta\dd \theta$. Para encontrar la constante de proporcionalidad podemos usar que la suma de los dm nos debe dar la masa del pistón, es decir, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

[LauraLopez]

Re: piston dentro de cilindo

Ahi voy entendiendo un poco mas, no llege a enteder lo ultimo igual, lo de la masa.La masa de cada tira decis que sera una constante por su area ? llamas dm a su area?

$\dd m=\rho \dd x 2\sqrt{R^2-x^2}=2\rho R^2 \cos^2\theta\dd \theta$

de donde sacas esa formula? el area seria base por altura, la base no es X? y la altura 2y?

dm es lo que llamaste antes dP?

[arivasm]

Re: piston dentro de cilindo

No, llamo dm a la masa de cada tira. El área sería lo que escribiste en este último post, pero sin la $\rho$. El área sí es base por altura, pero la base no es x, sino dx. La altura ciertamente es 2y. Por último, $dP$ es el peso, $g\cdot\dd m$.

[LauraLopez]

Re: piston dentro de cilindo

la base es dx porque es una tira verticial? porque pareceria que es x en lugar de dx....y la altura porque no es dy?

[arivasm]

Re: piston dentro de cilindo

Tal como tomamos los elementos de pistón, la base de cada uno es una cantidad infinitesimal. La altura no. Por eso la base es dx y la altura no es dy,

[LauraLopez]

Re: piston dentro de cilindo

De a poco voy entiendiedo...las nuevas dudas son:

1- Porque la integral es entre -90 y 90?

2-

Cada una de esas tiras de ancho dx estará sometida a cuatro fuerzas: dN, su peso y las que ejerzan sobre ella las tiras vecinas, que, entiendo, serán estrictamente horizontales. Como estas dos últimas complican la parte horizontal de la suma de fuerzas, pero no la vertical, podemos recurrir a ésta última. El equilibrio de fuerzas en vertical será , lo que nos daría el camino para encontrar las dN.

No serian 5 fuerzas, porque tambien esta la fuerza de rozamiento de cada tira que veo que despues calculas mas adeltante no? $dF_r$

3 - Una vez que llegas a esta expresion : $\dst \dd F_r=\frac{2}{\pi} \mu M g \cos\theta \dd \theta$ nuevamente la duda de porque es entre -90 y 90 la integracio....

4- No entiendo como luego con esto puedo resolver el ejercicio.... Creo que tenog que plantear newton en el piston pero esto no me dice mas que$F = F_r$
y lo que me pide es una distancia que recorre el piston....

[arivasm]

Re: piston dentro de cilindo

A la tira vertical que esté más a la izquierda le corresponde un ángulo de -90º para la normal, a la que está justo en el medio le corresponde 0, y a la que está más a la derecha le corresponde 90º. Por eso la integral es entre -90º y 90º.

Sí tienes razón que también actúa el rozamiento, pero es perpendicular al dibujo y entonces no interviene en el balance de fuerzas que permitirá encontrar los dN.

Una vez que tienes las dFr al integrar tienes la Fr que actúa sobre el pistón y entonces el ejercicio ya se vuelve uno de los normales: el pistón se mueve con MRU y ejerce sobre el cilindro una Fr que puedes conocer por la 3ª ley de Newton. Como esa fuerza será igual a la resultante sobre el cilindro con ella encuentras la aceleración de este último. El resto es un sencillo ejercicio de cinemática.

[LauraLopez]

Re: piston dentro de cilindo

mmmm no veo eso de los angulos el angulo no es el que forma la normal con el eje vertical? veo que el del medio forma un angulo de cero grados pero lo otro no entiendo como te diste cuenta...me daria la sensacion de que mas a la izquierda mas grnde es ese angulo llegando al extremo de que el angulo es de 90 grados a la izquierda pero esto seria lo opuesto a lo que me dijiste..

y con respecto de como continua el ejercicio no lo comprendo...

Lo que se me ocurre hacer es plantear newton en el cilindro y el piston eso esta bien? lo que obtengo es:

PISTON

$\sum {F}_{x } = F = f_r$

$\sum {F}_{y } = {N}_{cp } = m_p g$

donde${N}_{cp }$ es la normal que el cilindro le hace al piston y $m_p$ es la masa del piston

CILINDRO

$\sum {F}_{x } = f_r = m_c a$

$\sum {F}_{y } = {N}_{piso } = {N}_{pc } + m_c g$

donde ${N}_{pc }$ es la normal que el piston le hace al cilindro

y ademas sabia que $f_r = \frac{4}{\pi }\mu m_p g$

Estan bien las ecuaciones? como puedo llegar a lo que me piden con estas ecuaciones?

Lo unico que pude hacer es llegar a una expresion para la aceleracion del cilindro [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[arivasm]

Re: piston dentro de cilindo

Es que es arbitrario decir que el ángulo es positivo en un sentido o en el contrario. Depende sólo de hacia dónde elijas positiva la x.

Por lo demás, lo que pones es correcto, incluido el valor de la aceleración. Ahora sólo te queda un ejercicio de movimiento relativo.

[LauraLopez]

Re: piston dentro de cilindo

El piston se mueve hacia la izquierda asi que deberia ser positivo hacia la izquierda, de ser asi los extremos si serian entre -90 y 90

Cuando llegas a esto:

$\dst\dd F_r=\frac{2}{\pi} \mu M g \cos\theta \dd \theta$

E integras en ambos terminos el termino de la izquierda entre que valores se integra? y aca es donde te digo que el de la derecha si es entre -90 y 90 como hiciste vos da positivo y si lo hago entre 90 y -90 da negativo


Mas alla del signo al resolverlo llego a:

las ecuaciones que tengo son :

CILINDRO:

$\dst a_c = \frac{4\mu gm_p}{\pi m_c }$

$\dst v_c = \frac{4\mu gm_p}{\pi m_c } t$

$\dst x_c = \frac{2\mu gm_p}{\pi m_c }{t}^{2 }$

PISTON:

$a_p = 0$

$v_p = 1 m/s$

$x_p = 1 t$

Me pide ${X}_{P/0 } = {X}_{P/C } + {X}_{C/0 }$

$\dst{X}_{C/0 } = \frac{2(0,3)g2 {t}^{2 } }{\pi 4 } = \frac{0,3 g {t}^{2 } }{\pi }$

${X}_{P/C } = 0,05$

Entonces llego a $\dst\frac{0,3 g {t}^{2 } }{ \pi} - t + 0,05 = 0$

Resuelvo y obtengo t = 0,0526 y t = 1,0148

Finalmente ${X}_{P/0 } = 1 t = 1 (0,0526) = 0,0526 m$

Los 2 valores de t serian validos no? pero uso el mas chico porque es la primer distancia que alcanza el piston que cumple con lo que pide el enunciado ,esta bien lo que hice?

[arivasm]

Re: piston dentro de cilindo

La cuestión del signo tiene que ver con que si cambias el criterio para el ángulo y lo haces positivo en la mitad izquierda, en lugar de la derecha, entonces será $x=-R\sin\theta$, $\dd x=-R\cos\theta$... es decir, aparece un nuevo signo menos que hace que finalmente la integral sea positiva, como debe ser para un módulo.

Por lo que se refiere a la resolución, ciertamente habrá dos ocasiones en las que el pistón estará 0,05 m por delante del cilindro. Entiendo que debes dar los dos resultados. Por cierto, el enunciado no te pide los instantes, sino la posición del pistón.

[LauraLopez]

Re: piston dentro de cilindo

Con respecto a lo del signo entonces entiendo que decis que la solucion que vos me dabas era tomando positivo hacia la derecha no? y al ser positivo hacia la derecha $x = R\sin\theta$ y demas.... pero no me queda claro el porque usando esa direccion la integral sera entre -90 y 90. Al usar esa direccion para mi seria entre 90 y -90.....nose porque no lo veo como vos... (supongo que se integra desde el angulo que obtenga al estar mas a la izquierda hasta el angulo que se obtiene al estar mas a la derecha)
Desde el medio un poco corrido a la izquierda tengo una normal que apunta hacia los positivos de x (derecha) y de y(arriba) con lo cual es un angulo positivo y mas a la izquierda me voy mas grande se va haciendo este angulo , llegando a un maximo de 90 En cambio estando en el medio si me corro un poco a la derecha tengo una normal que apunta hacia los negativos de x (izquierda) y positivos de y(arriba) con lo cual tengo un angulo negativo y asi mas a la derecha mas grande el angulo , llegando a -90

Con respecto a la solucion entonces decis que hice bien? aclarando que tengo que dar como respuestas las 2 soluciones. y si el enundiado pode la posicion , justamente eso es lo que di como solucion...pasa que la formula de la posicion era $x_p = 1 t$ o sea se multiplica esos valores de t por 1 con lo cual son los mismos que t

Asi que la solucion seria

${X}_{P/0 } = 0,0526 m$ y ${X}_{P/0 } = 1,0148 m$

[arivasm]

Re: piston dentro de cilindo

Sobre el signo: del mismo modo que integrarías la x entre -R y R el ángulo debes integrarlo con los límites correspondientes, y si usas $x=+R\sin\theta$ serán -90º y +90º.

Sobre lo que dices del ángulo y la normal. Piensa que nosotros sólo prestamos atención a la componente vertical de la normal, y esa es independiente de cómo tomes el ángulo. La única cosa que cambia según como sea el orden de integración es la x, que afecta al dx, es decir, a la anchura del elemento de pistón.

En el resto estoy de acuerdo.