Otras carreras cuerpo sobre superficie lubricada

[LauraLopez]

Hola!!

Sobre una superficie lubricada se lanza un cuerpo de masa 100 kg, con una velocidad de 100 km/h que se reduce a 54 km/h en una distancia de 200 metros, como consecuencia de una fuerza resistente proporcional a la segunda potencia de la velocidad.

a) Determinar el valor de la mencionada constante de proporcionalidad
b) Calcular en que tiempo se detiene el cuerpo
c) Obtener una expresion para la velocidad en funcion de la posicion

Para el inciso A

uso que : ${v_f}^{2 } - {v_0}^{2 } = 2a \Delta X$

Sabemos que a los 200 metros la velocidad es 54 km/h = 15 m/s y$v_0 = 100 km/h = 27,7 m/s$

${15}^{2 } {27,7}^{2 } = 2a(200)$

$a =-1,356$

Luego planteo newton tomando positivo hacia la derecha donde $F = k {v}^{2 }$
entonces

$- F = ma$

$-k v^2 = ma$

$k = -\frac{ma}{v^2 }$

y aca tengo

$a(t) = -1,356$

$v(t) = 27,7 - 1,356t$

$x(t) = 27,7t - 0,678 t^2$

y aca como sigo? porque no llego a un valor concreto para K sino que queda en funcion de la velocidad que esta en funcion del tiempo...

[Elzurdo]

Re: cuerpo sobre superficie lubricada

No puedes aplicar tu primera ecuación porque la aceleración no es constante, la fuerza depende de la velocidad y la velocidad del tiempo luego la fuerza no es constante y la aceleración tampoco,para el inciso a resuelve la ecuación : $-\alpha x'^2=m\frac{dx'}{dx }*x'$ que se obtiene sabiendo que si $v$ depende de la posición $v(t)=v(x(t))$ y $v'(t)=\frac{dv}{ dx}x'$ . Luego la variación de la energia cinética es igual al trabajo de las fuerzas no conservativas(en este caso) ,en este caso tendrás que hacer una integral $\int-\alpha v(x)^2dx$ entre 0 y 200 e igualarla a la variación de la cinética de aquí hallas la constante, para el inciso b, resuelves esta ecuación :$-\alpha(v(t))^2=m\frac{dv}{dt }$ aplicas condiciones iniciales y estudias el límite cuando el tiempo tiende a infinito, y el inciso c ya lo hemos resuelto en el a.

[LauraLopez]

Re: cuerpo sobre superficie lubricada

HOla! gracias aunque perdoname pero no te entendi del todo ..... comprendi porque esta mal lo que yo hice no sabia o no recordaba que esa formula era valida para aceleracion constante lo tendre en cuenta!
Luego no entiendo esas formulas que usas creo no conocerlas....nose quien es alfa ni que es eso de x prima...

Creo haber entendido lo siguiente: esta actuando una fuerza no conservativa F porque se pierde velocidad mientras avanza....asi que puedo decir que :

${w}_{fnc } = \Delta E_m$ entonces

$\Delta E_m = \frac{1}{2 }m ({v_f}^{2 } - {v_0}^{2 } )$

y ${w}_{fnc } = \int F dx$

Pero F depende de la velocidad pero necesito que sea en funcion de x para poder integrarla entre 0 y 200 y esto es lo que creo no te entendi como se hace...

el inciso b y c de momento no los entiendo, una vez comprendido el a volvere a leer tu explicacion

[LauraLopez]

Re: cuerpo sobre superficie lubricada

alguna ayuda chicos..... por fa

[LauraLopez]

Re: cuerpo sobre superficie lubricada

Sigo sin encontrar como hacer...

Tengo

${w}_{fnc } = \frac{1}{2 }m ({v_f}^{2 } - {v_0}^{2 } )$

$\int F dx = \frac{1}{2 }m ({v_f}^{2 } - {v_0}^{2 } )$

$\int -kv^2 dx = \frac{1}{2 }m ({v_f}^{2 } - {v_0}^{2 } )$

Hay forma de hacer esa integral? o se resuelve de otra forma el ejercicio.....

[arivasm]

Re: cuerpo sobre superficie lubricada

Vamos a tirar por el camino que nos señaló Elzurdo: la fuerza resultante es opuesta al movimiento y proporcional al cuadrado de la velocidad. Por tanto, si la expresamos como $F_x=-\alpha v^2$ (llamaremos $\alpha$ al factor de proporcionalidad correspondiente, y que es lo que nos piden en el apartado a). Por la segunda ley

$$\dst m \frac{\dd v}{\dd t}=-\alpha v^2$$

Desde aquí tenemos una primera posibilidad que es integrar y encontrar v(t). Nuestro amigo Elzurdo sugiere una segunda, que nos lleva directamente al resultado buscado, consistente en cambiar la variable independiente, del tiempo a la posición:

$\dst m \frac{\dd v}{\dd x}\frac{\dd x}{\dd t}=-\alpha v^2$

es decir

$\dst m v\frac{\dd v}{\dd x}=-\alpha v^2$

que se vuelve más sencilla si la expresamos como

$\dst m \frac{1}{2} \frac{\dd v^2}{\dd x}=-\alpha v^2$

pues al hacer el cambio de variable $q=v^2$ resulta

$\dst m \frac{1}{2} \frac{\dd q}{\dd x}=-\alpha q$

con lo que sólo nos queda hacer la integral y tener en cuenta los datos del enunciado.

De todos modos, si te resulta incómodo, entiendo que también puedes obtener v(t) integrando (1) y luego volver a integrar para encontrar x(t). Con ellas, podrás plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $\alpha$ y el tiempo correspondiente al 2º par de datos de velocidad y posición.

[LauraLopez]

Re: cuerpo sobre superficie lubricada

como llega a este paso ? $\dst m \frac{1}{2} \frac{\dd v^2}{\dd x}=-\alpha v^2$

Con esto que me estas explicando llego a poder resovlerlo de la forma que decia antes?

$\int -kv^2 dx = \frac{1}{2 }m ({v_f}^{2 } - {v_0}^{2 } )$

[arivasm]

Re: cuerpo sobre superficie lubricada

como llega a este paso ? $\dst m \frac{1}{2} \frac{\dd v^2}{\dd x}=-\alpha v^2$ [/TEX]

Por la regla de la cadena, de la derivación. Simplemente es porque la derivada de $v^2$ es $2vv'$ y entonces $vv'=\frac{1}{2}(v^2)'$.

Con esto que me estas explicando llego a poder resovlerlo de la forma que decia antes?

$\int -kv^2 dx = \frac{1}{2 }m ({v_f}^{2 } - {v_0}^{2 } )$

(Veo que lo que yo he llamado alfa tú le has llamado k, espero que eso no te haya despistado.)

No te servirá de mucho. De la expresión que citas de mi post tenemos que $-kv^2\dd x=\frac{1}{2}m\dd v^2$. Al integrar simplemente llegaremos a una identidad evidente.

Te recomiendo que hagas el cambio de variable que te indiqué antes, $q=v^2$, y que resuelvas la ecuación diferencial $\dst\frac{1}{2}m\frac{\dd q}{\dd x}=-k q$

[LauraLopez]

Re: cuerpo sobre superficie lubricada

Ahi entendi de donde sale ese paso pero igualmente no entiendo como se resuelve lo ultimo a lo que llegas aparee esa " q" que me confunde no se que es supongo que sera como una velocidad....que ventaja me da tener esa q en lugar de lo que tenia antes? con esa ultima ecuacion como la integro? tengo qeu pasar el dq hacia el lado derecho? entre que valores de q integro? y lo miso en el lado izquierdo me apareceria un dx que nose entre que valores iria

[arivasm]

Re: cuerpo sobre superficie lubricada

La q te facilita la resolución del problema. Pasa la q de la derecha al lado izquierdo y el dx al derecho. Al integrar te saldrá el ln q, y entonces podrás poner q(x) como una exponencial. Para hallar v(x) hazle la raíz cuadrada (pues v es la raíz cuadrada de q). Sobre los valores, puedes usar una integral indefinida y al final tendrás dos incógnitas (k y la constante de integración), pero dos ecuaciones, una para cada par posición/velocidad que te dan en el enunciado.

[LauraLopez]

Re: cuerpo sobre superficie lubricada

La ecuacion de q que llego es

[TEX\dst]q(x) = {e}^{-\frac{2k}{m }x } [/TEX]

Luego la de v es

$v(x) = \sqrt{{e}^{-\frac{2k}{m }x }} + C$

Ahi esta bien agregar la constante? nunca entiendo bien eso de las constantes de integracion donde ponerlas....

Luego los demas datos son que para x= 0 entonces v= 100 km/ h y para x= 200 entonces v= 54 km/h

Esta bien la ecuacion que encontre? de ser asi con esos datos tengo que encontrar el valor de k y C entonces no?

[arivasm]

Re: cuerpo sobre superficie lubricada

La constante de integración te ha aparecido al hacer la integral para q, no al deshacer el cambio de variable. Por tanto, en realidad es así: $\dst \ln q(x) = -\frac{2k}{m }x +C$, es decir, $\dst q(x) = D \ee^{-\frac{2k}{m }x}$ (he llamado $D=\ee^C$) y $\dst v(x) = \sqrt{D}\;\sqrt{\ee^{-\frac{2k}{m }x }} =\sqrt{D}\;\ee^{-\frac{k}{m }x }$.

Lo último que dices es correcto.

[arivasm]

Re: cuerpo sobre superficie lubricada

Permíteme que trate de ayudar recurriendo a otro camino que te comenté anteriormente, fundamentalmente porque no quisiera que pensases lo típico de "eso del cambio de variable no se me habría ocurrido" o cosas así.

Partiendo de

$\dst m\frac{\dd v}{\dd t}=-kv^2$,

tenemos que

$\dst \int_{v_0}^v\frac{\dd v}{v^2}=-\frac{k}{m}\int_0^t \dd t$.

De esta manera encontramos que

$$\dst v=\frac{v_0}{1+\frac{k}{m}v_0 t}$$

Como eso significa que

$\dst \frac{\dd x}{\dd t}=\frac{v_0}{1+\frac{k}{m}v_0 t}$,

podemos integrar de nuevo, con lo que tendremos

$$\dst x=\frac{m}{k}\ln\left(1+\frac{k}{m}v_0 t\right)$$

De esta última expresión podemos despejar el denominador de (1) y substituir en él, de manera que finalmente resulta

$$\dst v=v_0\ee^{-\frac{k}{m}x}$$

que es la misma expresión de antes, pues es fácil ver que al hacer $x=0$ tenemos que $v_0=\sqrt{D}$. Claro que el camino anterior era más directo.

[LauraLopez]

Re: cuerpo sobre superficie lubricada

esta ultima forma me gusta mas porque pensaba exactamente lo que decias je

Pero no entiendo como llegas a esto: $\dst v=\frac{v_0}{1+\frac{k}{m}v_0 t}$

yo hago la integral anterior y llego a :

$\frac{1}{v - v_0 } = \frac{k}{m }t$

$v = \frac{m}{kt } + v_0$

[arivasm]

Re: cuerpo sobre superficie lubricada

Tienes un pequeño error: como la primitiva de $1/v^2$ es $-1/v$ al aplicar la regla de Barrow te queda $\dst\frac{1}{v_0}-\frac{1}{v}$ y no $\dst\frac{1}{v-v_0}$